Curvas

INTRO. CONSTRUC. DE CURVAS

Una función, por sí misma, no ofrece la información necesaria para dibujar su gráfica con un mínimo de exactitud.

La derivada va a ser la herramienta más potente a la hora de dar forma a la representación gráfica de una función. Ella determinará con toda fidelidad el crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos y puntos de inflexión; conceptos que serándefinidos en el desarrollo del tema.

Ante una función cualquiera f(x) puede averiguarse fácilmente, con un mínimo análisis, cuál es su dominio de definición (dónde está y dónde no está definida). Este conocimiento obliga, al representar la función en un sistema de ejes cartesianos, a centrar la atención en los puntos del eje de abscisas donde está definida.

El primer matemático del que setenga constancia que representó gráficamente una función fue un profesor de la Universidad de París, Nicole Oresme (1323-1382), quien mediante un par de rectas perpendiculares dibujó la gráfica de un movimiento uniformemente acelerado, de forma similar a como se hace en nuestros días. No obstante, la mayor aportación que hizo Oresme a la matemática fue la definición de potencias de exponentesfraccionarios y operaciones con ellas.

La representación gráfica de una función aporta mucha más información que la simple definición de la función, por cuanto nos permite visualizar la variación de la variable dependiente, y, con respecto a la variable independiente, x; es decir, cuándo la función es creciente o decreciente, cuándo se alcanza el punto máximo o el mínimo, entre otros muchos aspectos.Aunque la palabra curva puede tener varios significados, en lo que sigue, se debe entender como la representación gráfica de una función en un sistema de ejes cartesianos, es decir, la representación de todos los puntos de la forma (x,f(x)). Como, en general, este conjunto de puntos es infinito, no se podrán señalizar uno a uno, por lo que habrá que conformarse con una aproximación que, porotro lado, será tanto mejor cuanta más información se tenga del comportamiento de la curva, que podrá ser muy variable. Por esto es necesario distinguir y analizar los distintos casos que se pueden presentar.

FUNC. CREC. Y DECREC. DE INTER.

[pic]Name=1; HotwordStyle=BookDefault; • Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, conla condición x1 ≤ x2, se verifica que
f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

[pic]Name=2; HotwordStyle=BookDefault; • Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 ≤ x2, entonces f(x1 ) ≥ f(x2 ).
Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), lafunción se dice estrictamente decreciente.

FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO

[pic]Name=1; HotwordStyle=BookDefault; • Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto
[pic]

f(x) ≤ f(a) si x pertenece a (a - ε, a) y
f(x) ≥ f(a) si x pertenece a (a, a + ε).

[pic]Name=2; HotwordStyle=BookDefault; • Análogamente, una función es decreciente en un punto a siexiste un intervalo abierto (a - ε, a + ε) en el que

f(x) ≥ f(a) si x pertenece a (a - ε, a) y
f(x) ≤ f(a) si x pertenece a (a, a + ε).

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo ≤ por < y el ≥ por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de funcióncreciente o decreciente en un punto.

Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función
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? Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x2 en los puntos
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Resolución:
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Name=3; HotwordStyle=BookDefault;
• La función y...