Curvatura En El Espacio

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Barcelona – Edo. Anzoátegui
Ingeniería CivilMATEMATICAS III

Profesor:
José Rojas

Bachiller:
Francisco Peinero
CI.: 19.168.896

Barcelona, 12 de Julio del 2011
Curvas en el espacio

Sea el vector posición de un punto en el espacio, , unaconstante, t un parámetro que puede ser el tiempo.

Estudiemos +

Además
Como el módulo del vector es r, su extremo estará siempre sobre una circunferencia de radio r.

La figurasiguiente muestra el recorrido del extremo de cuando t varía de 0 a .

Y
X

Cuando t varía de 0 a , , describe una curva C, que consiste en un cuarto de circunferencia.



Siexaminamos la ecuación de vectorial de una recta que pasa por P(0,1,1) y Q(1,2,3).

P
R(x,y,z)
Q
O(0,0,0)
(0,1,1)
(1,2,3)

Vemos que para que R(x,y,z) esté sobre la recta , para algún número realt.

Por lo tanto , con parámetro t, recorre tal tipo de curva.

A partir de la siguiente definición ,

Se concluye que es tangente a la curva descrita por el extremo (x,y) del vector .

Paraobtener el vector de longitud 1, tangente a la curva, se utiliza como es usual

Estos resultados se generalizan a los vectores en dimensión 3.

Además, si , tenemos que , en donde son derivadasconvencionales en una variable.

Ejemplo

Sea . Por lo tanto , donde

. Luego ,
Por lo tanto

Vemos que para obtener la derivada del vector (en la variable t), basta con derivar cadauna de sus componentes con respecto a t. Recordemos de nuevo que el vector unitario, tangente a la curva es .

Calculo Vectorial.

Sea
n
n
R
t
x
t
x
t
x
R
b
a
t
t
∈→
⊂
∈
))
(
),.......
(
),
(
(
)
,
(
:
)
(
2
1
σ
, una trayectoria
de tipo
1
Cen (a, b) el diferencial de
)
(t
σ
es la matriz columna
[ ]
...