curvatura torsion

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
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FACULTAD DE INGENIER´IA MECANICA
- ENERG´IA
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EJERCICIOS DE MATEMATICA
III
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CURVATURA Y TORSION
Prof. V.Contreras T.
√
1. Dada la curva x2 − 2yz = 0 y y+ z − 2x − 1 = 0
a) Halle la ecuaci´on del plano osculador en el punto (− 2√1 2 , 14 , 14 )
b) Halle la curvatura en el dado anteriormente.
2. Dada la curva C definida por:
C:

x2 + y 2 + 2y = 3z+x=2

→
a) Describa la curva C mediante una funci´on vectorial −
r : R → R3
y grafique dicha curva.
b) Halle el centro de la circunferencia de curvatura en el punto P (0, 1, 2).
3. Una curvallamada bruja de Mar´ıa Agnesi, costa de todos lod puntos
P , determinados como se ilustra en la figura de abajo.
a) Halle la ecuaci´on param´etrica de esta curva, usando el ´angulo θ
comopar´ametro y grafique.
b) Halle el punto m´as alto de la curva.
c) Halle los vectores T y N en el punto m´as alto de la curva.

4. Halle la representaci´on param´etrica de la curva f = f (λ) sabiendo quesu torsi´on es τ = − a1 (a es una constante positiva) y que un vector en la
direcci´on y sentido del vector binormal es (cos2 λ , senλ cosλ , senλ).
1

√
5. Sea C una curva descrita por lafunci´on f (t) = ( 1 − t2 , 1 , t −
1+t
ln( √
)) y dados los planos P1 : x + z = 1 y P2 : x − z = 1 Halle
1 − t2
la curvatura de C en el punto de se intersecci´on C , , P1 y P2 .
6. Dadas lassuperficies S1 : x2 + y 2 + z 2 = 6 y S2 : x2 + y 2 = z
a) Halle la representaci´on param´etrica de la curva C definida como
la intersecci´on de S1 y S2 , dirigida de manera que desde el origen
decoordenadas se observa en el sentido antihorario.
b) Halle el vector tangente a la curva C en el punto (−1 , −1 , 2)
c) Halle la torsi´on en cualquier punto de la curva C.
d ) Represente la curva Cmediante el pa´ametro longitud de arco.
7. pruebe que la normal principal a una curva Γ (en el punto con curvatura
K = 0 ) tenga la misma direeci´on que la tangente al lugar geom´etrico
de los...