Curvatura

CURVATURA DE UNA CURVA PLANA EN COORDENADAS
CARTESIANAS
G. SERRANO SOTELO
1. Introducci´on
Se adapta la teor´ıa cl´asica del triedro de Frenet al caso de una curva plana y se calculaexpl´ıcitamente la curvatura de la curva plana en cartesianas, y = f(x), comprobando
que tanto su interpretaci´on como la f´ormula de c´alculo obtenida coincide con la de
Newton.
Newton basa su definici´on yc´alculo de la curvatura de una curva plana en cartesianas
en las siguientes afirmaciones:
• Un c´ırculo tiene curvatura constante que es inversamente proporcional a su
radio.
• El “c´ırculo m´asgrande” que es tangente a la curva (por su lado c´oncavo) en un
punto tiene la misma curvatura que la curva en el punto.
Newton define el centro de este c´ırculo como el punto de intersecci´on delas rectas
normales a la curva en puntos de ella arbritariamente pr´oximos. Ello le permite calcular
el centro y el radio del c´ırculo y por tanto el centro y el radio de curvatura de la curva.Veremos que el “c´ırculo m´as grande” de Newton es el c´ırculo osculador.
2. Curvatura de una curva plana en coordenadas cartesianas
Consideremos una curva plana en coordenadas cartesianasparametrizada por su
longitud de arco s
(s) = (x(s), y(s))
El vector tangente unitario a la curva en un punto gen´erico P es
d
ds
= (x0(s), y0(s))
Intuitivamente podemos imaginar que la curvatura dela curva mide la variaci´on de
su vector tangente en su traslado a lo largo de ella, lo que conduce a las siguientes
definiciones:
Se llama vector de curvatura en P al vector
d2
ds2 = (x00(s),y00(s))
Se define la curvatura  en el punto P como el m´odulo del vector de curvatura en P.
Demostremos que el vector de curvatura es ortogonal al vector tangente:
Como d
ds es unitario,derivando en la expresi´on d
ds · d
ds = 1 se obtiene que d2
ds2 · d
ds = 0,
es decir ambos vectores son ortogonales.
Se deduce que
d2
ds2 = N siendo N el vector normal unitario en...