curvatura

CURVATURA DE UNA CURVA PLANA EN COORDENADAS
CARTESIANAS
G. SERRANO SOTELO

´
1. Introduccion
Se adapta la teor´ cl´sica del triedro de Frenet al caso de una curva plana y se calcula
ıa aexpl´
ıcitamente la curvatura de la curva plana en cartesianas, y = f (x), comprobando
que tanto su interpretaci´n como la f´rmula de c´lculo obtenida coincide con la de
o
o
a
Newton.
Newton basa sudefinici´n y c´lculo de la curvatura de una curva plana en cartesianas
o
a
en las siguientes afirmaciones:
• Un c´
ırculo tiene curvatura constante que es inversamente proporcional a su
radio.
•El “c´
ırculo m´s grande” que es tangente a la curva (por su lado c´ncavo) en un
a
o
punto tiene la misma curvatura que la curva en el punto.
Newton define el centro de este c´
ırculo como elpunto de intersecci´n de las rectas
o
normales a la curva en puntos de ella arbritariamente pr´ximos. Ello le permite calcular
o
el centro y el radio del c´
ırculo y por tanto el centro y el radiode curvatura de la curva.
Veremos que el “c´
ırculo m´s grande” de Newton es el c´
a
ırculo osculador.
2. Curvatura de una curva plana en coordenadas cartesianas
Consideremos una curva plana encoordenadas cartesianas parametrizada por su
longitud de arco s
σ(s) = (x(s), y(s))
El vector tangente unitario a la curva en un punto gen´rico P es
e
dσ
= (x (s), y (s))
ds
Intuitivamentepodemos imaginar que la curvatura de la curva mide la variaci´n de
o
su vector tangente en su traslado a lo largo de ella, lo que conduce a las siguientes
definiciones:
Se llama vector de curvatura enP al vector
d2 σ
= (x (s), y (s))
ds2
Se define la curvatura κ en el punto P como el m´dulo del vector de curvatura en P .
o
Demostremos que el vector de curvatura es ortogonal al vectortangente:
2
Como dσ es unitario, derivando en la expresi´n dσ · dσ = 1 se obtiene que d σ · dσ = 0,
o ds ds
ds
ds2 ds
es decir ambos vectores son ortogonales.
d2 σ
Se deduce que 2 = κN siendo N el...