Curvatura

Curvatura
La curvatura de una curva en el plano, en un punto de la curva, mide la rapidez con la que la curva abandona la tangente en ese punto.
¿Cómo medimos la curvatura? Por un lado, una recta no tiene curvatura, luego su curvatura es cero, por otro lado, una recta podemos imaginarla como una circunferencia de radio infinito, entonces la curvatura podemos medirla por el inverso del radio decurvatura (1 / R)
El radio de curvatura de una circunferencia, es el radio de la circunferencia. Para el caso de una curva cualquiera, el radio de curvatura en un punto, es el radio de la circunferencia que pasa por ese punto y otros dos infinitamente próximos (por tres puntos sólo pasa una circunferencia).  En general, el radio de curvatura varía en cada punto de la curva. 

Torsión

Lacurvatura de las curvas en el espacio (por ejemplo la hélice, cuya imagen es similar a un muelle) se define de manera similar (el radio será el de una esfera) a la curvatura de las curvas en el plano, pero en este caso la curvatura se llama torsión.
La torsión mide la variación de la dirección del plano osculador.
Dado un punto en una curva, el plano osculador es el plano mas próximo a la curva quepasa por ese punto.
Por lo tanto una curva tiene infinitos planos osculadores (uno en cada punto).

Curvatura de una superficie

El concepto es similar. La curvatura de una superficie, en un punto, mide la rapidez con la que la curva abandona el plano tangente a la curva en ese punto.
En una superficie la curvatura depende de la dirección en la que nos movamos (este detalle no tiene sentidoen el caso de curvas lineales, pues sólo nos podemos mover a lo largo de la curva). Euler demostró que en cada punto de una superficie existen dos direcciones en las que la curvatura alcanza su máximo y su mínimo y que estas direcciones son perpendiculares entre si. 
Podemos visualizar la curvatura de una superficie viendo un cilindro. Si nos movemos a lo largo del cilindro (sobre la generatriz)la curvatura es cero y si nos movemos en dirección perpendicular a la generatriz (recorriendo una circunferencia) la curvatura será máxima (igual a 1 / R, siendo R el radio de la circunferencia).
Para calcular la curvatura en una dirección que forma un ángulo a con respecto a una de las direcciones de curvatura máxima o mínima, aplicamos la fórmula:
ka = k1 cos2 a + k2 cos2 a
Algunassuperficies tienen algunos puntos en los que la curvatura, en ese punto, es la misma sea cual sea la dirección. Esos puntos se llaman puntos umbilicales. En la esfera todos los puntos son puntos umbilicales, el elipsoide con los tres ejes distintos, tiene 4 puntos umbilicales. 
Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frênet-Serret

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Vista esquemática del vector tangente (azul), vectornormal (verde) y vector binormal (rojo) de una curva espiral.
Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, normal y binormal como, (claro esto para un sistema derecho):

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Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido comoTriedro de Frênet-Serret a raiz del estudio de Jean Frenet y Joseph Serret. Es interesante que para una partícula física desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.
Si la curva está parametrizada según la longitud de arco, como se explicó en la secciónanterior las fórmulas anteriores pueden simplificarse notablemente:
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Donde la curvatura y la torsión son precisamente los parámetros χ y τ anteriores.
Curvatura y torsión
La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice, que más grande es la curvatura. Para una...