Curvatura

Universidad Autónoma de Chihuahua.


Facultad de Ingeniería



Calculo diferencial e integral:

Curvatura, Ecuaciones Parametricas y Coordenadas Polares.








17/11/2011






Ecuaciones Parametricas
Ecuaciones Parametricas y secciones cónicas:
Si las coordenadas (x, y) de un punto P en una curva están dadas como una función [pic] y[pic] se denomina como ecuacionesParametricas de una curva.
Por ejemplo:
a. [pic] ,[pic] son ecuaciones Parametricas con parámetro [pic], de la parábola [pic], ya que [pic]

b. [pic], [pic] es otra representación parametrica, con parámetro t, de la misma curva.























Ejemplo:

a) Las ecuaciones [pic] , [pic]representan el circulo de radio [pic] con centro en el origen,como[pic]. El parámetro[pic] puede considerarse como el ángulo del eje [pic] positivo al segmento desde el origen hasta el punto P en el círculo.

b) Las ecuaciones[pic], [pic] representan el circulo de radio [pic] con centro el (a, b), ya que [pic].























Se asume que una curva se especifica mediante un par de ecuaciones Parametricas [pic] y[pic].Entonces, la primera y la segunda derivada [pic] están dadas por las siguientes formulas:

• PRIMERA DERIVADA

[pic]

Esto se da por la formula de la regla de la cadena [pic] .

• SEGUNDA DERIVADA

[pic]

Esto se sigue de la formula de la regla de la cadena [pic]



Longitud de arco para una curva parametrica

Si una curva esta dada por ecuaciones Parametricas[pic]

[pic]Entonces la longitud de arco de la curva entre los puntos correspondientes a los valores del parámetro [pic] y [pic] es:

[pic]





Ejemplo:

Hallar [pic] y [pic] si [pic] , [pic]

Solución:

[pic] y [pic]

Utilizamos la primera derivada

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]















Ejercicios de ecuaciones parametricas

Unacircunferencia de radio a rueda sobre una recta sin deslizarse. Determinar la
trayectoria de un punto dado de la circunferencia.
SOLUCION
Supongamos que en un cierto instante el punto dado M es el punto de contacto de la circunferenciacon la recta en cuestión. Tomemoseste punto como origen del sistema de coordenadas y la recta dada como eje Ox. Lo que expresamos por medio de la figura.
[pic]
Supongamosahora que M es un punto cualquiera de la trayectoria buscada y x, y sus coordenadas. Llamemos t al ángulo MCB. Tendremos entonces que:
OK = OA – KA
Y como: OK = x ; OA = at ; KA = MB = a sen t
Por lo tanto sustituyendo en OK = OA – KA
x = at - a sen t
x = a (t – sen t )
De la misma forma como: KM = AB = AC – BC
Pero: KM = y ; AC = a ; BC = a cos t
Sustituyendo en KM = AB = AC - BC nosqueda:
y = a - a cos t
y = a (1 – cos t)

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria buscada, que se denominan cicloide son x = a (t – sen t ) , y = a (1 – cos t).
Ejercicio de ecuaciones parametricas:

1. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la curva dada por la ecuación:

x2 - y - 2x - 3 = 0, con : x = t + 1

SOLUCIÓN
Despejando y de la ecuación dada tenemos:
y = x2 - 2x – 3Sustituyendo el valor de x = t + 1 queda:
y = (t + 1 )2 - 2 (t + 1) - 3
y = t2 + 2t + 1 - 2t - 2 - 3
y = t2 – 4

Como se indico que: x = t + 1

Las ecuaciones paramétricas son:
x = t + 1
y = t2 - 4











Curvatura

Derivada de la longitud de arco: Sea [pic] que tiene una primera derivada continua. Sea [pic] un punto fijo en su grafica y se denota con la letra [pic] lalongitud de arco medida desde [pic] hasta cualquier otro punto [pic] en la curva. Se sabe que por la formula.

[pic]

Si se selecciona [pic] al crecer con [pic]. Sea[pic] un punto en la curva cercano a [pic]. Sea [pic] la longitud de arco desde [pic] hasta [pic]. Entonces

[pic]

Y de forma semejante,

[pic]

El signo más o menos se toma en la primera formula según [pic] aumente o...