cvv del pino

UNIVERSIDAD DE CHILE
´
FACULTAD DE CIENCIAS F´
ISICAS Y MATEMATICAS
´
DEPARTAMENTO DE INGENIER´ MATEMATICA
IA

´
CALCULO EN VARIAS VARIABLES
Apunte de curso

MANUEL DEL PINO
Centro de Modelamiento Matem´tico
a
Departamento de Ingenier´ Matem´tica
ıa
a
delpino@dim.uchile.cl

Se concede permiso para imprimir o almacenar una unica copia de este
´
documento. Salvo por lasexcepciones m´s abajo se˜aladas, este permiso no
a
n
autoriza fotocopiar o reproducir copias para otro uso que no sea el personal,
o distribuir o dar acceso a copias electr´nicas de este documento sin permiso
o
previo por escrito del Director del Departamento de Ingenier´ Matem´tiıa
a
ca (DIM) de la Facultad de Ciencias F´
ısicas y Matem´ticas (FCFM) de la
a
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a
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Cualquier reproducci´n parcial de este documento debe hacer referencia
o
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Este documento fue financiado a trav´s de los recursosasignados por el
e
DIM para la realizaci´n de actividades docentes que le son propias.
o

Esta versi´n fue revisada y corregida por Juan Peypouquet. Los
o
cap´
ıtulos 8 y 9 fueron adaptados del apunte “C´lculo Vectorial, Variaa
ble Compleja y Ecuaciones en Derivadas Parciales”, Tercera Edici´n,
o
por Felipe Alvarez, Juan Diego D´vila, Roberto Cominetti y H´ctor
a
e
Ram´
ırez.

´Indice general
Introducci´n
o

7

Cap´
ıtulo 1. Conceptos preliminares
1. RN como espacio vectorial normado
2. Sucesiones y convergencia
3. Interior, adherencia, conjuntos abiertos y cerrados
4. Subsucesiones y el Teorema de Bolzano-Weierstrass
5. Sucesiones de Cauchy y completitud

9
9
10
13
16
18

Cap´
ıtulo 2. Funciones de varias variables: l´
ımites y continuidad
1.Introducci´n a las funciones de varias variables
o
2. L´
ımites y continuidad
3. Algunas caracterizaciones de la continuidad
4. Operaciones con funciones continuas
5. Funciones Lipschitz
6. M´ximo y m´
a
ınimo de una funci´n continua
o

19
19
20
24
25
27
29

Cap´
ıtulo 3. Diferenciabilidad de funciones de varias variables
1. Definici´n de diferenciabilidad y derivada
o
2.Operaciones con funciones diferenciables
3. Derivadas direccionales, parciales y diferenciabilidad
4. Continuidad de derivadas parciales y diferenciabilidad
5. Gradiente de una funci´n
o
6. Plano tangente
7. Teorema del Valor Medio
8. Regla de la cadena

33
34
38
40
45
48
49
51
51

Cap´
ıtulo 4. Teoremas de la Funci´n Inversa e Impl´
o
ıcita
1. El Teorema del Punto Fijo deBanach
2. Los Teoremas de la Funci´n Inversa e Impl´
o
ıcita

57
57
61

Cap´
ıtulo 5. Derivadas de orden superior
1. Derivadas parciales sucesivas
2. Segundo orden: la matriz Hessiana
3. Aproximaciones de Taylor

69
69
72
73

5

6

´
INDICE GENERAL

Cap´
ıtulo 6. Optimizaci´n
o
1. Puntos cr´
ıticos de funciones diferenciables
2. Multiplicadores de Lagrange

77
77
85Cap´
ıtulo 7. Integraci´n de funciones de varias variables
o
91
1. Definici´n de la integral y propiedades b´sicas
o
a
92
2. D´nde integrar: Conjuntos Jordan-medibles
o
100
3. C´lculo de integrales: El Teorema de Fubini
a
104
4. C´lculo de integrales: El Teorema del Cambio de Variables 109
a
Cap´
ıtulo 8. Coordenadas curvil´
ıneas
1. Triedro de vectores y factores escalares2. Coordenadas cil´
ındricas
3. Coordenadas esf´ricas
e
4. Coordenadas toroidales
5. Gradiente en coordenadas ortogonales

119
119
120
121
123
124

Cap´
ıtulo 9. La noci´n de superficie
o
1. Vectores tangente y normal a una superficie
´
2. Area e integral de superficie

127
129
131

Introducci´n
o
Consideramos en este curso funciones definidas sobre el espacio RN ,
el...