Cxlculo_de_derivadas

Cálculo de derivadas
Matemáticas I
Curso 2015-16
En los apuntes tenéis algunas de estas derivadas y más. Estudiad las
derivadas de los apuntes antes de intentar hacer las propuestas en la
colección.
Las explicaciones que aparecen a lo largo de esta colección no sustituyen
las explicaciones de clase, las complementan o insisten en algunos
puntos.

Introducción
Vimos en el tema 3 que cuando tenemosuna función y queremos saber el
incremento que sufre si el valor de una de sus variables cambia mientras
las demás permanecen constantes, este incremento podemos calcularlo
aproximadamente mediante otra función llamada derivada definida como el
límite de un cociente de incrementos. Así, si tenemos una función 𝑓(𝑥), la
𝜕𝑓
derivada
(𝑥) representa el incremento absoluto que produce en 𝑓 un
𝜕𝑥𝑖incremento de una unidad en 𝑥𝑖 .
Por ejemplo, supongamos que tenemos una función escalar 𝑓(𝑥, 𝑦) y
𝜕𝑓
sabemos que 𝜕𝑥 (2,5) = −4. Esto quiere decir que por cada unidad marginal
que aumente la variable 𝑥, permaneciendo la variable 𝑦 constante, la
función disminuirá aproximadamente 4 unidades marginales, siempre que
estemos suficientemente cerca del punto (2,5). Análogamente, por cada
unidad marginal quedisminuya la variable 𝑥, permaneciendo la variable 𝑦
constante, la función aumentará aproximadamente 4 unidades marginales,
siempre que estemos suficientemente cerca del punto (2,5).
Ejercicio: Supongamos un mercado con dos artículos. Interpreta la derivada
anterior si la función es 𝐷1 (𝑝1 , 𝑝2 ) donde 𝐷1 representa la demanda del
primer artículo y 𝑝1 y 𝑝2 representan los precios del artículo 1 yel artículo 2
respectivamente.
Sin embargo, a veces es más útil determinar el incremento relativo del
valor de 𝑓, es decir, conocer el incremento de la función no en valor
absoluto sino en tanto por uno (o por cien, o por mil, etc). Si queremos
transformar el incremento absoluto (derivada) en el incremento relativo
(derivada en términos porcentuales), no tenemos más que operar como
1 𝜕𝑓
100 𝜕𝑓habitualmente: 𝑓 ∙ 𝜕𝑥 es el incremento de 𝑓 en tanto por uno, 𝑓 ∙ 𝜕𝑥 es el
𝑖

incremento de 𝑓 en tanto por cien,
por mil y así sucesivamente.

1000 𝜕𝑓
∙ 𝜕𝑥
𝑓
𝑖

𝑖

es el incremento de 𝑓 en tanto

Por ejemplo, supongamos que tenemos una función 𝑓(𝑥, 𝑦) de la que
𝜕𝑓
100 𝜕𝑓
400
sabemos que 𝑓(1,0) = 33 y 𝜕𝑥 (1,0) = −4. Calculamos 𝑓(1,0) ∙ 𝜕𝑥 (1,0) = − 33 =
−12′12. Esto significa que, alrededor del punto(1,0), si la variable 𝑥 aumenta
1

y la variable 𝑦 permanece constante, la función 𝑓 disminuye
aproximadamente un 12’12%. Análogamente, si alrededor del punto (1,0) la
variable 𝑥 disminuye y la variable 𝑦 permanece constante, la función 𝑓
aumenta aproximadamente un 12’12%.
Ejercicio: Supongamos un mercado con dos artículos. Interpreta la derivada
en porcentaje anterior si la función es 𝐷1 (𝑝1 ,𝑝2 ) donde 𝐷1 representa la
demanda del primer artículo y 𝑝1 y 𝑝2 representan los precios del artículo 1 y
el artículo 2 respectivamente.
También puede ocurrir que las unidades de la función y las unidades de la
variable sean muy dispares. En este caso, ni la aproximación absoluta ni la
aproximación relativa son aconsejables. Es mucho mejor considerar ambas
variaciones, la de la variable y la de lafunción, en términos porcentuales.
100 𝜕𝑓
𝑥
𝑥 𝜕𝑓
Así tendríamos que calcular
∙
∙ 𝑖 = 𝑖∙ .
𝑓

𝜕𝑥𝑖 100

𝑓

𝜕𝑥𝑖

Ejercicio: Consideremos un mercado con un solo bien. A partir de la
definición de elasticidad, demuestra que la elasticidad de la demanda
respecto al precio viene definida por:
𝐸(𝐷, 𝑝) =

𝑝 𝜕𝐷
∙
𝐷 𝜕𝑝

Nota: A veces se define con un signo negativo para que sea positiva en el
casodemanda/precio. Esto no tiene mayor importancia siempre que se sepa
de antemano cuál de las dos opciones se ha elegido.
Vimos en el tema 3 que el cálculo de la función derivada aplicando su
definición pocas veces es fácil. Sin embargo, en algunos puntos (los que en
clase hemos llamado "puntos interiores del dominio") podemos calcularla
aplicando unas sencillas reglas que se deducen a partir de dicha...