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CAP´
ITULO XI.
APLICACIONES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA

SECCIONES
´
A. Areas de figuras planas.
B. C´lculo de vol´menes.
a
u
C. Longitud de curvas planas.
D. Ejercicios propuestos.

37

´
A. AREAS DE FIGURAS PLANAS.

En Geometr´ Elemental se conocen las f´rmulas para hallar el ´rea de cualıa
o
a
quier regi´n limitada por una poligonal cerrada. Ahora bien, si una regi´n
o
oest´ limitada por alguna l´
a
ınea curva, como es el c´
ırculo, el ´rea se expresa
a
como un l´
ımite de las ´reas de poligonales “pr´ximas”. El procedimiento
a
o
descrito en el cap´
ıtulo anterior para definir el concepto de integral de una
funci´n consiste precisamente en aproximar la funci´n por funciones escao
o
lonadas; si consideramos una funci´n y = f (x) no negativa en unintervalo
o
[a, b], la integral inferior es el l´
ımite de la suma de las ´reas de los rect´ngua
a
los inscritos en la regi´n limitada por la curva y = f (x), el eje OX y las
o
rectas x = a y x = b, y la integral superior es el l´
ımite de las ´reas de los
a
rect´ngulos circunscritos a dicha regi´n. De este modo podemos definir el
a
o
a
´rea de dicha regi´n como la integral de la funci´n fen el intervalo [a, b].
o
o
En general,
Dada una funci´n y = f (x) integrable en un intervalo [a, b], el ´rea de la
o
a
regi´n limitada por la funci´n, el eje OX y las rectas x = a y x = b se define
o
o
como
b

|f (x)| dx.

A=
a

Observaci´n: El valor absoluto de la funci´n es debido a que en los intero
o
valos donde la funci´n es negativa, la integral tambi´n es negativa y suvalor
o
e
es opuesto al del ´rea correspondiente.
a
En la pr´ctica, para eliminar el valor absoluto en el integrando, debemos
a
determinar los intervalos de [a, b] donde la funci´n es positiva o negativa y
o
descomponer la integral en suma de integrales correspondientes a cada uno
de los intervalos indicados colocando el signo adecuado. As´ en la figura
ı,
adjunta, el ´rea se expresacomo
a
r

s

f (x) dx −

A=
a

b

f (x) dx +
r

f (x) dx.
s

38

En particular, si la funci´n est´ expresada en forma param´trica x = x(t), y =
o
a
e
y (t), el ´rea viene expresada como
a
t1

b

y (t) · x (t) dt,

y dx =

A=

t0

a

donde a = x(t0 ), b = x(t1 ).
Regiones m´s generales que las descritas son aquellas que est´n limitadas
a
a
por dosfunciones y = f (x), y = g (x) entre dos rectas verticales x = a y
x = b. En este caso el ´rea se expresa mediante la f´rmula
a
o
b

|f (x) − g (x)| dx.

A=
a

En el ejemplo de la figura, el ´rea se descompone como:
a
s

r

[g (x) − f (x)] dx +

A=

b

[f (x) − g (x)] dx +
r

a

[g (x) − f (x)] dx.
s

Si la regi´n est´ limitada por dos curvas y = f (x), y = g (x) entre dos
oa
rectas horizontales y = c e y = d, consideramos las funciones inversas
e integramos respecto a la variable y . El ´rea se expresa entonces como
a
d

A=

|f −1 (y ) − g −1 (y )| dy.

c

En el ejemplo de la figura, dicha integral se descompone como
r

A=

d

[f −1 (y ) − g −1 (y )] dy +

c

r

39

[g −1 (y ) − f −1 (y )] dy.

En los ejercicios que siguen veremosejemplos de todas las situaciones planteadas. Al ser v´lidas aqu´ todas las propiedades de las integrales obtenidas
a
ı
en el cap´
ıtulo anterior, aplicaremos siempre los teoremas fundamentales de
la integral. Omitiremos en la mayor´ de los casos el c´lculo de las primiıa
a
tivas pues ya se han realizado en el cap´
ıtulo 7. Nos limitaremos a escribir
el resultado de dicha primitiva y aindicar las sustituciones en los extremos
de integraci´n. S´ es muy conveniente tener una idea aproximada de la reo
ı
presentaci´n gr´fica de las funciones involucradas para conocer la posici´n
o
a
o
relativa de las mismas y los intervalos de integraci´n. Es importante tamo
bi´n observar las simetr´ de las figuras para as´ poder escribir f´rmulas
e
ıas
ı
o
m´s sencillas para el ´rea de las...