Cálculo Capítulo II Parte 1 Secantes y Tangentes


Capítulo II
DERIVADAS Y SUS APLICACIONES Por Randolph Wompner G.
1° Secantes y Tangentes.
Si una curva tiene la ecuación y se quiere hallar la tangente a en el punto entonces considereun punto cercano , donde y calcule la pendiente de la recta secante :


Representación gráfica de la situación.


En seguida, acerque a a lo largo de la curva , haciendo que tienda a . Sitiende a un número , se define la recta tangente como la recta que pasa por con pendiente . (esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta secante cuando tiende a )Representación gráfica de la situación.



La recta tangente a la curva en el punto es la recta que pasa por con pendiente:

cuando este límite existe.

EJEMPLO 1: Encuentre una ecuación dela recta tangente a la parábola , en el punto
SOLUCIÖN: En este caso, y , de modo que la pendiente es:



La ecuación de la recta es: o bien
Existe otra expresión para lapendiente de la recta tangente. Si ahora suponemos que , en este caso y así la pendiente de la recta secante es:


Advierta que, cuando tiende a , lo hace a (porque ) y, de este modo,la expresión para la pendiente de la recta tangente, que se da en la ecuación se convierte en:



Representación gráfica de la situación.



EJEMPLO 2: Encuentre la ecuación de la rectatangente a la hipérbola , en el punto .
SOLUCIÖN: Sea . Por lo tanto, la pendiente de la tangente en es:


En consecuencia la ecuación de la tangente en el punto es:
o bienRepresentación gráfica de la situación.


2° Derivada en un punto.
En ciencias de la ingeniería surge con frecuencia la misma clase de límite en que se busca la pendiente de la recta tangente, visto en elejemplo anterior (ver ecuación ), En realidad, los límites de la forma:



surgen siempre cuando se calcula una razón de cambio, tal como la velocidad de una reacción química o el costo marginal en...