Cálculo de la circunferencia de Eratóstenes

Cálculo de la circunferencia de Eratóstenes
En el año 240 AdC., el astrónomo Griego Eratóstenes llevó a cabo la primera medición buena del tamaño de la Tierra. Tras notar los ángulos de las sombras de dos ciudades durante el solsticio de verano, llevar a cabo los cálculos correctos mediante el uso de sus conocimientos de geometría y estimar la distancia entre las dos ciudades, Eratóstenes logróllevar a cabo un cálculo correcto de la circunferencia de la Tierra. ¡Pero, veamos de cerca cómo lo hizo!
Eratóstenes vivió en la ciudad de Alexandria, cerca del río Nilo y junto a la costa Mediterránea, al norte de Egipto. Sabía que en cierta época del año, durante el solsticio de verano, en la ciudad de Siena, en Egipto, no había sombra al fondo de un pozo. Se dio cuenta de que esto significabaque al medio día el Sol se encontraba justo sobre la ciudad de Siena, al sur de Egipto, y que por ello no había sombra en el fondo del pozo. Eratóstenes también se dio cuenta de que esto se debía a que ese mismo día, al medio día y cada año, el Sol se encontraba justo sobre la ciudad de Siena.
Eratóstenes sabía que el Sol nunca se encontraba directamente sobre su ciudad natal de Alexandria, alnorte de Siena, ni siquiera durante el solsticio de verano. Sabía que podía determinar cuán lejos se encontraba Alexandria con solo estar justo debajo del Sol midiendo el ángulo de una sombra generada por un objeto vertical. Entonces midió la longitud de la sombra de una alta torre de Alexandria, y usó simple geometría para calcular el ángulo entre la sombra y la torre vertical. Este ángulo resultóser de, 7.2 grados.
Luego, Eratóstenes usó un poco más de geometría a fin de razonar que el ángulo de la sombra debía ser igual al ángulo entre Alexandria y Siena, de ser medido desde el centro de la Tierra. De manera muy conveniente, 7.2 grados es 1/50 de un círculo entero (50 x 7.2° = 360°). Eratóstenes comprendió que si podía determinar cuál era la distancia entre Alexandria y Siena,¡simplemente tendría que multiplicar dicha distancia por 50 para así encontrar la circunferencia de la Tierra!
Es aquí cuando las cosas se complican un poco. Eratóstenes tenía la distancia existente entre las dos ciudades. Sus registros muestran que la distancia que encontró era de 5 000 estadía. El estadion (plural = estadía) era una unidad de distancia común en ese entonces. Desafortunadamente, no había unalongitud promedio ni universal para el estadion, de manera que no sabemos con exactitud cuál versión de la estadía usó Eratóstenes y por ello, no sabemos cuán precisa fue su solución. Es posible que haya estado en lo correcto con un margen menor a un 1%, sin duda alguna, ¡un logro impresionante!, pero si de hecho usó un estadion diferente, debió estar errado en aproximadamente 16%, ¡lo cual esbastante bueno! De hecho, la circunferencia polar de la Tierra tiene un poco más de 40 mil km. (aproximadamente 24 860 millas).
Tierra elipsoidal
Para hacer cálculos sencillos y aproximados, normalmente se asocia la Tierra con una esfera. Sin embargo, la forma de nuestro planeta es más compleja: la Tierra está achatada por lo polos, el hemisferio sur es un poco más voluminoso que el norte, y tieneuna cierta rugosidad debida al relieve del terreno.
Es por esto que la geodesia, que es la ciencia que tiene por objeto estudiar la forma y dimensiones de la Tierra, establece una aproximación a la forma de la Tierra, denominada elipsoide. Esto se debe a que el elipsoide es una figura matemática que responde a fórmulas analíticas, de manera que permite hacer cálculos apoyándose en él.
Existendiferentes modelos de elipsoides utilizados (Bessel, Hayford, Everest), denominados elipsoides de referencia. Las diferencias entre éstos vienen dadas por los valores asignados a sus parámetros más importantes:

Semieje ecuatorial (a) o semieje mayor: Longitud del semieje correspondiente al ecuador, desde el centro de masas de la Tierra hasta la superficie terrestre. 
Semieje polar (b) o semieje...