Cálculo de la distancia de los trastes

Desde tiempos inmemoriales se intentaron construir las escalas musicales perfectas, esto es, por ejemplo, encontrar los puntos por los que habría que acortar una cuerda para ir estableciendo losdistintos saltos de la escala.
Desde la antigua Sumeria hasta los pitagóricos se sabe que intentaron definir con precisión, estos últimos ayudados con el monocordio, las divisiones, en un principiorelacionadas con los números pequeños (dos tercios, un cuarto, etc.)
Estas divisiones que coincidían con notas que sonaban bien estaban casualmente tan cerca de las notas que calcularemos con nuestrafórmula que parece normal que hubiera causado muchas dudas. Si dividiendo entre dos la longitud de la cuerda conseguimos algo tan armónico como una octava (aquí el oído no tiene dudas) tendremos quebuscar relaciones con los pequeños números, tres, cuatro…
Cuando se intentaron desarrollar obras musicales de cierta envergadura se encontraron problemas de disonancias hasta que Johann Sebastián Bachentre otros se decidió por el uso de los instrumentos con temperamento igual, esto es, instrumentos con idénticos saltos de grados cromáticos.
La fórmula más precisa hasta el momento estaba relacionadacon el número de oro y tenía como resultado un número irracional por el que se va dividiendo la longitud de una cuerda para calcular el traste siguiente. Esta fórmula es la utilizada habitualmente porlos constructores de instrumentos para definir la ubicación de los diferentes trastes.
Ese número es bastante perfecto pero acumula cierto error en los cálculos así que, tratando de buscar un modoperfecto para el cálculo hemos conseguido deducir que esa imprecisión se resuelve utilizando la raíz duodécima de una sucesión de números que no es otra que la definida por la progresión de laspotencias de 2.
En el caso de la octava sería como sabemos en el traste 12:



Dando como resultado la conocida mitad de la cuerda para la octava:



Esta fórmula parece encontrar el sentido...