Cálculo Diferencial

Unidad 1: Números reales.

1.1 La recta numérica.

Es una línea donde se colocan todos los números reales, los cuales se ordenan
respecto a un número de referencia tal como el cero. A la izquierda se colocan
los números negativos que abarcan desde   hasta 0 , mientras que a la
derecha, se colocan los números positivos que van desde 0 hasta  (ver Fig.
1.1).

1.2 Los números reales.Los números reales abarcan los tipos de números que se describen a
continuación, y son escritos en un lugar geométrico que incluye orden en la recta
numérica (ver Fig. 1.1).
Números naturales (1, 2, 3, ….).
Números enteros (los números naturales incluyendo los negativos y el cero:

 .

...

 3,

 2,

 1,

0,

1,

2,

3,

5, ... .

 8 3 10 17 6 88 1

,
,
,, , . . ..
Números racionales  , ,
 5 7 21 2 15 25 3


Números irracionales
2





2,
3



177
55

3



7 ,  , e, 3, . . . .

2

 3

1

2



1
2

0

1
2

1

3
2

2

e





Fig. 1.1 Recta numérica sobre la que se escriben algunos de los números reales:
naturales, enteros, racionales e irracionales.

1

1.3 Propiedadesde los números reales.

Las propiedades de campo de los números reales tienen su fundamento en las
cuatro operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y adición y
corresponden a las leyes conmutativas, leyes asociativas, ley distributiva,
elementos identidad, inverso aditivo, opuesto o simétrico e inverso
multiplicativo o recíproco.
Mientras que las propiedades de orden de losnúmeros reales provienen de la
separación de los números reales diferentes de cero en dos conjuntos disjuntos, a
saber, los números reales positivos y los números reales negativos.

Esta

propiedad de orden queda representada por dos símbolos matemáticos tales
como: > y

>
>
>
>
>

3

15/8 no es la única fracción comprendida entre 7/4 y 8/4 pues repitiendo el
procedimiento podríamosencontrar, por ejemplo, otra fracción entre 7/4 y 15/8.

1.3.4 Axioma del supremo.

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo.
Acotado superiormente y acotado inferiormente significan lo que describimos a
continuación.
Acotado Superiormente
Un conjunto A es acotado superiormente si existe un número real M que es
mayor que todos los elementos del conjunto A , asaber, M  RX  A de tal
forma que x  M . M es la cota superior de A .
En este tenor, cualquier otro número real mayor que M , también será una cota
superior de A .
Acotado Inferiormente
Un conjunto A es acotado inferiormente si existe un número real m que es
menor que todos los elementos del conjunto A , es decir, M  RX  A tal que
m  x . m es cota inferior de A .

Así,cualquier otro real menor que m , también será una cota inferior de A .
Llamaremos pues a un conjunto acotado superior e inferiormente como acotado.
Ejemplos de cota superior.
El intervalo A   ,3, es acotado superiormente. Una cota superior es el 3, y el
conjunto de las cotas superiores es 3,   . En este caso el intervalo no es acotado
inferiormente ya que, dado un número real m  3 , unacota inferior para m puede
ser m  1 , pero m 1  A .

4

El intervalo A   2,4 es acotado superior e inferiormente. El conjunto de las
cotas superiores es el intervalo 4,   , mientras que el conjunto de las cotas
inferiores es el intervalo  ,2 .
Una forma de demostrar que un número real v es una cota superior para un
conjunto A , es probar que ningún real x  v pertenece a A .Por ejemplo, demostrar que si A  x   : x 2  2, ningún real mayor que
pertenece a A . Solución. Veamos si v 

5
2

5
5
es cota superior de A . Si x  ,
2
2

2

5
25
entonces x 2      2 . Entonces x  A , lo que significa que ningún real
 
2

mayor que

4

5
puede estar en A .
2

Por otro lado, para comprender totalmente el Axioma del Supremo debemos...