Cálculo Diferencial

Universidad Santo Tomas Facultad de Ciencias y Tecnolog´ ıa
Laura Rico October 9, 2012
Evaluaci´n Pr´ctica 2-2012 o a 1. Las ganancia de una compa˜´ est´n determinada por el n´mero de unidades nıa a u 3 vendidas de acuerdo a la funci´n G(x) = 2x − 8x2 + 48x + 200, donde o 6 G(x) est´ dada en millones y x en miles de unidades. 0 < x < 20 a (a) Realice la gr´fica de las ganancias vs el n´mero deunidades vendidas a u en el intervalo 0 < x < 20 Soluci´n o Para la funci´n G(x) = 2x − 8x2 + 48x + 200 primero Hallemos o 6 los interseptos con los ejes coordenados, entonces hacemos G(0) = 2(0)3 − 8(0)2 + 48(0) + 200 = 200 6
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Por otro lado calculemos el otro extremo del intervalo, para x = 20, G(20) = 2(20)3 − 8(20)2 + 48(20) + 200 = 626.666 6

A continuaci´n se muestra la gr´fica de lafunci´n en el intervalo o a o 0 0 y los valores de x para los cuales G (x) < 0 entonces x2 − 16x + 48 > 0 (x − 4)(x − 12) > 0 2

Figure 2: Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento Hacemos uso del diagrama de flechas, en la imagen se encuentra m´s a exactamente como se calcula. De esta manera tenemos que la funci´n G(X), crece de o (−∞, 4) ∪ (12, ∞) y decrece de (4, 12) Pero me interesa elcomportamiento de la funci´n para 0 < x < 2 o Por ultimo, calculemos los cambios en la convavidad de G(x), para ´ ello hacemos uso de la segunda derivada de G(x), los intervalos donde G (x) crece y decrece, entonces hacemos G (x) > 0 2x − 16 > 0 x>8 As´ tenemos que la funci´n G(x) es convaca si x > 8 y es convexa si ı o x < 8.

Con toda la informaci´n que tenemos, podemos graficar la funci´n o o G(x),como se muestra a continuaci´n o

Figure 3: Gr´fica de la funci´n G(x) a o 2. El costo de producir maletines deportivos en la f´brica ”DEPORTES Y” a est´ determinado por la funci´n C(x) = 22.000 + 5.300x. Si el precio a o unitario de venta es de 10.000 a.) C´lculo la utilidad marginal para la f´brica. a a

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El costo marginal es el costo adicional que se genera al producir una unidadadicional de un producto o servicio. Luego el ingreso total estara dada por I(x) = 22.000x + 6.250x2 y los costos es C(x) = 22.000 + 5.300x As´ la ganancia es ı G(x) = 22.000x + 6.250x2 − 22.000 − 5.300x G(x) = 6.250x2 + 16.700x − 22.000 Luego, la utilidad marginal es la derivada de la ganancia, as´ ı Um (x) = 12.500x + 16.700 b.) Si realizan un pedido de 50 maletines adicionales, es rentable para laf´brica producirlos y venderlos?, justifique su respuesta analizando el a costo marginal y el ingreso marginal. El costo de producir 50 maletines, es de C(50) = 22000 + 5300(50) = 287.000, ahora el costo marginal es C (51) = 5300, esto quiere decir, que por cada unidad que se produzca tiene un valor adicional de 5300. Es decir, el costo de producir 50 maletines es de $287.000 y de producir, 51 maletineses $292.300. La ganancia esta dada por G(x) = I(x) − C(x) G(x) = 22.000x + 6.250x2 − 22.000 − 5.300x

G(x) = 6.250x2 + 16.700x − 22.000 Entonces, la ganancia de producir 50 maletines de G(50) = 6.250(50)2 + 16.700(50) − 22.000 = 15.625.000 + 835.000 − 22.000 G(50) = 16.438.000 Luego, para las 51 maletas, las ganancias son G(51) = 6.250(51)2 +16.700(51)−22.000−5.300 = 16.256.250+851.700−27300G(51) = 17.080.650 Luego, desde vista del punto marginal, si es rentable producir, las 50 maletas adicionales 4

El ingreso marginal es la derivada de la funci´n ganancia, entonces o Um = G (x) = 12.500x + 16.700 As´ la utilidad marginal de producir los 50 maletines es ı G (50) = 12.500(50) + 16.700 = 641.700 y la utilidad marginal de producir los 51 maletines es G (51) = 12.500(51) + 16.700 =654.200 Desde luego, desde el punto de vista de utilidad marginal, si es rentable producir, las 50 maletas adicionales. 3. El sistema de ecuaciones dado a continuaci´n presenta una situaci´n soo o bre el uso de aulas virtuales en tres materias diferentes y en diferentes momentos del d´ utilizando el m´todo de Cramer encuentre los valores ıa, e de x que corresponden al n´mero de horas utilizadas...