Cálculo Ll

LLPRIMERA UNIDAD: LA ANTIDERIVADA Y LA INTEGRAL DEFINIDA

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
En el sistema de coordenadas polares, un punto P queda determinado por la
intersección de circunferencias concéntricas con centro O (llamado polo) y semirrectas o rayos
que parten desde el polo.
Conociendo una distancia dirigida r a partir del polo y un ángulo θ (medido en
radianes) cuyo lado iniciales el eje polar y cuyo lado Terminal es el radio OP, las coordenadas
del punto P son (r , θ ) .
2π
3

π
3

5π
6

π
6

π

2

45

Eje polar

7π
6

4π
3

3π
2

5π
3

11π
6

Si r es constante, se obtiene una circunferencia de radio r.
Si θ es constante se obtiene una semirrecta.
Relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas:
Las coordenadaspolares se
relacionan con las coordenadas
π /2
rectangulares de la siguiente
Eje a
manera:

x = r cos θ 

y = rsenθ 
P(r , θ )

r
O

θ

r 2 = x2 + y2 

y
tan θ =

x

1

Convenciones:
1) El ángulo θ > 0 se mide en sentido opuesto al de las agujas de un reloj, a partir del eje
polar y θ < 0 se mide en el mismo sentido al de las agujas de un reloj.
2) Parasituar un punto (-r, 0) con r > 0 se miden
3) Las coordenadas del polo son

(0,θ )

r unidades a lo largo del rayo θ + π

La descripción de un punto en coordenadas polares no es única: las coordenadas
(r ,θ ) y (r , θ + 2kπ ) indican en mismo punto.
Ejemplo:
Grafique los siguientes puntos:

A(2, π ),
4

B(− 2, π )
3
F (2,

E (−2,− 4 )
π

5π
3

π
C (4, 32 )

)

C (− 4, 2 )D(− 1,0)

Convertir a coordenadas rectangulares:

A(2, π ),
4

B(− 2, π )
3

π
C (4, 32 )

π
F (2,− 53 )

E (−3,− π )
6

B ( 2 3 , 2)

D(1, π )

C (− 4, π ) D(− 1,0)
2

Convertir a coordenadas polares:

A(1,−1)

D(1, π )

π

D(5,5)

C (0,−5)

E (− 2,−2 )

(

F 3,−3 3

)

Determinar una ecuación polar que tenga la misma gráfica que

a) x 2 + y 2 = 6 yb) x 2 + y 2 = 5 x

Encuentre tres representaciones en coordenadas polares del punto indicado:

A(2, π ),
4

B(− 2, π )
3

π
C (4, 32 )

D(1, π )

Determine coordenadas polares para los puntos dados en coordenadas rectangulares (respete
el cuadrante)

A(2,−2 )

(

)

B − 3 ,−1

C (− 4,4 )

Obtenga una ecuación polar que tenga la misma gráfica que la ecuacióncartesiana dada:

a) x 2 + y 2 + x = x 2 + y 2

b) x + 3 = 0

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN POLAR
La gráfica de una ecuación polar r = f (θ ) es el conjunto de puntos P con al menos un
par de coordenadas que satisfacen la ecuación.
Para facilitar su gráfica se estudia:
a) Intersección con los ejes
b) Simetría
c) Extensión

θ =0
π 2: θ = π
2

Intersección con el Eje Polar:
Intersección con eleje

θ = π θ = 2π
π
θ = 32
2

Intersección con el polo: r = 0
Simetrías:
1) La gráfica de una ecuación es simétrica respecto al Eje polar si la sustitución de
por

(r ,−θ ) ó (− r , π − θ ) produce una ecuación equivalente

2) La gráfica de una ecuación es simétrica respecto al Eje

π 2 , si la sustitución

(r ,θ ) por (r , π − θ ) ó (− r ,−θ ) produce una ecuación equivalente3) La gráfica de una ecuación es simétrica respecto al polo, si la sustitución de
por

(r , π + θ ) ó (− r ,θ ) produce una ecuación equivalente

(r ,θ )

de

(r ,θ )

Extensión: indica si la gráfica es cerrada o abierta, considera los valores máximo y mínimo.
Gráficas de coordenadas polares:

r = a cos θ
Cardioides: r = a ± a cos θ
Caracoles: r = a ± b cos θ

r = asenθ
r = a± asenθ
r = a ± bsenθ

Circunferencias:

r 2 = a 2 cos 2θ
Rosas: r = asen( nθ )

r 2 = a 2 sen 2θ
r = a cos(nθ )
n≥2

Lemniscata:

a > b la gráfica no pasa por el polo

Nota: En los caracoles: si

a < b la gráfica tiene un rizo interior

Si

En las rosas: si n es par, el número de pétalos es 2n
Si n es impar, el número de pétalos es n
Ejemplos:
Graficar r = 2 senθ...