Cálculo matricial

Multivariante

Curso 06 - 07

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C´lculo matricial
a
Introducci´n
o
La informaci´n de partida en el an´lisis multivariante es una tabla de datos correspondiente a
o
a
la medici´n de distintas variables sobre varios individuos. Por tanto su manejo se facilita con
o
el uso de vectores y matrices y sus propiedades.
Tambi´n ser´ importante visualizar los datos como puntos del espaciopara comprender la
e
a
estructura de los mismos y as´ poder buscar su rasgos comunes m´s importantes, as´ como sus
ı
a
ı
peculiaridades.
La observaci´n de una variable sobre n individuos dar´ lugar a x un punto de Rn o a su vector
o
a
asociado.
La observaci´n simultanea de p variables sobre n individuos dar´ lugar a una matriz de datos
o
a
Xdonde las filas recogen el valor de las pvariables en cada individuo y cada columnas recoge
los valores de una variable.

Vectores
En este apartado se recuerdan las operaciones con vectores y se relacionan con la descripci´n
o
estad´
ıstica de una variable. El conjunto de datos asociado al estudio de una variable sobre n
individuos generalmente se presentar´ en forma de vector columna de Rn .
a
Con los vectores as´ obtenidos sepodr´n realizar las siguientes operaciones:
ı
a
• Suma
(x: no hombres en ciertas empresas, y: no de mujeres en las mismas empresas,
x+y: no total de trabajadores )
• Producto por escalar
( cambio de unidades: x/100 cientos de trabajadores)
• Transposici´n
o
la transposici´n de un vector columna da lugar a un vector fila (que generalmente asoo
ciaremos a varias variables sobre un mismoindividuo)
• Producto escalar
x ·y=y ·x=

xi y i

• Norma o m´dulo del vector x
o
√
x = x ·x

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El producto escalar entre dos vectores x e y tambi´n se define como x · y = x
e
y cos θ
es decir la norma de un vector por la proyecci´n del otro sobre ´l, as´ si x es unitario x · y =
o
e
ı
m´dulo de la proyecci´n de y sobre x.
o
o
Tambi´n sededuce de esta definici´n que | x · y |≤ x
e
o
y (conocida como la desigualdad
de Cauchy-Schwartz)
Relacionado con el producto escalar est´ el concepto de vectores ortogonales:
a
n
x,y vectores de R son ortogonales si x · y = 0 ⇔ cos θ = 0 ⇔ θ = 900

Veamos ahora la relaci´n entre la media y la varianza con estas operaciones:
o
o
• La media de un conjunto de n datos es proporcional a laproyecci´n del vector asociado
sobre el vector constante (todas sus componentes iguales)
Vector unitario constante en Rn es :

1
√
n

la proyecci´n de x sobre este vector tiene por m´dulo:
o
o
√
valor de la proyecci´n √n nx = 1x
o 1

1
√ x
n

=

√

nx

es decir la media es el escalar que define la proyecci´n del vector x sobre el vector 1
o
• La variabilidad de los datosque mide la desviaci´n t´
o ıpica es la distancia estandarizada
entre el vector de datos y el vector constante
Sx =

1
√
n

x − x1 =

(xi −x)2
n

• La covarianza entre x e y es el producto escalar de los vectores asociados a la variabilidad
de cada uno de ellos:
cov(x, y) =

1
√ (x
n

− x1)

1
√ (y
n

− y1)

Para variables estandarizadas la covarianza coincide con elcoeficiente de correlaci´n
o
por ello ortogonalidad de vectores est´ relacionada con la incorrelaci´n.
a
o

Los vectores sirven para definir las traslaciones que son aplicaciones de Rn en Rn

Un conjunto de vectores x1 , . . . , xp se dice que es linealmente dependiente si existen escalares
c1 . . . cp no todos nulos tales que c1 x1 +· · ·+cp xp = 0 o, lo que es equivalente, uno de losvectores
se puede poner como combinaci´n lineal de los otros.
o
Base de un subespacio
Espacio generado por los vectores x1 , . . . , xp
Dimensi´n de un subespacio
o
Subespacio ortogonal a uno dado (espacio nulo asociado a un vector es el subespacio ortogonal
al mismo

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Matrices
Las matrices juegan un papel importante en el estudio de variables...