Cálculo - Proyecto Regla De La Cadena
Cálculo III
Universidad del Valle de Guatemala
Lic. Ricardo Ajiataz
César A. Vargas Monterrosa
04075
Lunes 23 / 05 / 2005
REGLA DE LA CADENA
Repaso
Si tenemos una función compuesta en la cual ésta depende de una variable, la cual a su vez depende de otra variable, la regla de la cadena para derivarla es:
dF = dF dxTeorema 1
Ejemplo 1
Halle la derivada de F(x) = 6x2 , x(t) = 3t3 + 2
Entonces F depende de x y ésta de t, o sea F depende de t, se puede expresar como
F ( x(t) ), y su derivada según el teorema 1 es:
dF/dx = 12x y dx/dt = 9t2 entonces,
dF/dt = (dF/dx) (dx/dt) = (12x)(9t2) = 108xt2
FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE
La regla de la cadena para derivar estasfunciones compuestas se divide en diferentes versiones. Las versiones dependen de cuantas variables independientes hay y además del hecho de ser una función implícita o explícita.
Versión 1
Si tenemos una función de dos variables, f(x,y), y a su vez x e y dependen de una variable t, x(t) y y(t). Consecuentemente, z depende de t, esto es:
z = f (x,y) = f ( x(t) , y(t) )
La regla de lacadena versión 1 da la fórmula para derivar z como función de t, es decir la razón de cambio de z respecto a t.
Teorema 2 dz = δz dx + δz dy
dt δx dt δy dt
Siempre y cuando f sea diferenciable, esto se puede determinar observando si δz/δx y δz/δy son continuas.
Ejemplo 2
z = sen(x)cos(y), x = п t, y = t1/2
δz/ δx = cos(x)cos(y) δz/ δy = -sen(x)sen(y)
dx/dt = п dy/dt = ½ t -1/2
Por el teorema 2 tenemos:
dz/dt = cos(x)cos(y) п - sen(x)sen(y) ( ½ t -1/2 )
Ejemplo 3
w = xy + yz2 , x = et , y = et sen(t), z = et cos(t)
δw/δx = y δw/δy = x + z2 δw/δz = 2yz
dx/dt = et dy/dt = et sen(t) + et cos(t) dx/dt = et cos(t) - et sen(t)
dw/dt = yet + (x + z2) (et sen(t) + et cos(t) ) +(2yz)( et cos(t) - et sen(t) )
Versión 2
Si tenemos una función de dos variables, f(x,y), pero ahora x e y son funciones de dos variables, s y t, x(s,t) y y(s,t). Consecuentemente, z depende de s y de t, esto es:
z = f (x,y) = f ( x(s,t) , y(s,t) )
La regla de la cadena versión 2 da la fórmula para derivar z como función de s o de t, es decir la razón de cambio de z respecto a s o at.
Teorema 3 δz = δz δx + δz δy
δt δx δt δy δt
δz = δz δx + δz δy
δs δx δs δy δs
Diagrama de árbol
Una forma visual de representar y recordar la regla de la cadena es por medio del diagrama de árbol.
Se coloca la variable dependiente (normalmente z) y se unen a ésta las variablesintermedias por medio de líneas, luego cada variable intermedia se ramifica en sus variables independientes, cada rama representa una derivada parcial, así:
Este diagrama se puede extender ilimitadamente, pero esto se verá en el curso de cálculo III.
Si se necesita calcular δz/ δs, se multiplican los diferenciales, de la rama de la variable intermedia x, por la que sepase para llegar a la variable independiente s.
Esto es (δz/ δx) (δx/ δs)
de manera análoga, se hace este producto para cada variable intermedia, y luego se suman los productos:
(δz/ δx) (δx/ δs) + (δz/ δy) (δy/ δs), lo que concuerda con el teorema 3.
Regla de la cadena (versión general)
si u es una función diferenciable de las n variavles x1, x2, x3, …, xn, y cada xi es una funcióndiferenciable de las m variables t1, t2, t3, …, tm, entonces u es una función de t1, t2, t3, …, tm.
Teorema 4 δu = δu δx1 + δu δx2 + … + δu δxn
δti δx1 δti δx2 δti δxn δti
Para cada i = 1, 2,…, m
Ejemplo 4
Escriba la regla de la cadena para el caso donde w = f(x, y, z, t), y x = x(u,v), y =...
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