Cálculo

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
En teoría de la probabilidad, una función de probabilidad (también denominada función de masa de probabilidad) es una función que asocia a cada punto de su espacio muestral X la probabilidad de que ésta lo asuma.En concreto, si el espacio muestral, E de la variable aleatoria X consta de los puntos x1, x2, ..., xk, la función de probabilidad P asociada a X es

donde pies la probabilidad del suceso X = xi.
Por definición de probabilidad,

Hay que advertir que el concepto de función de probabilidad sólo tiene sentido para variables aleatorias que toman un conjunto discreto de valores. Para variables aleatorias continuas el concepto análogo es el de función de densidad.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
En estadística, la distribución binomial es una distribución deprobabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q= 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:


La distribuciónbinomial es la base del test binomial de significación estadística.
Distribución binomial
Función de probabilidad Función de distribución de probabilidad

Ejemplos
Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:
• Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de tres obtenidos:entonces X ~ B(10, 1/6)
• Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)
• Una partícula se mueve unidimensionalmente con probabilidad q de moverse de aqui para allá y 1-q de moverse de allá para acá
Experimento Binomial
Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de losrestantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).
Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se hanproducido en los n experimentos.
Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).
Características analíticas
Su función de probabilidad es

donde
siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en )
Ejemplo
Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

Propiedades características


Relaciones con otras variables aleatorias
Si n tiende a infinito y p es tal que producto entre ambos parámetros tiende a , entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro λ.
Por último, se cumple que cuando nes muy grande (usualmente se exige que ) la distribución binomial puede aproximarse mediante la distribución normal.
Propiedades reproductivas
Dadas n variables binomiales independientes, de parámetros ni (i = 1,..., n) y p, su suma es también una variable binomial, de parámetros n1+... + nn, y p, es decir,


DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
En teoría de la probabilidad la distribución...