Cálculo

Coordinación de Matemática II (MAT022)
Segundo semestre de 2010
Semana 1: Lunes 09 – viernes 13 de agosto

CÁLCULO
Contenidos

• Clase 1: La diferencial y sus propiedades. • Clase 2: Antiderivadas, Propiedades de las antiderivadas.

CLASE 1
1.1 La diferencial y linealización
f (x ) − f (a ) = f (a ) x −a Si una función es diferenciable en x = a entonces el límite
x →a

limexiste, esto nos dice que para valores de x cercanos a a f (x ) − f (a ) ≈ f (a ) x −a de esta forma podemos decir que para x cercanos a a se cumple f (x ) ≈ f (a ) + f (a ) (x − a ) Esta observación sugiere una forma de estimar el cambio en los valores de salida que produce una función cuando los valores de entrada varían muy poco, este estimativo depende de la derivada de f e introduce el concepto dediferencial.

1.1.1 La diferencial Considere el punto P = a , f (a ) sobre la gráfica de una función diferenciable f (x ). La recta tangente al gráfico de f en el punto P esta dada por y = f (a ) + f (a ) (x − a )

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como f (a ) y f (a ) son constantes la función p (x ) = f (a ) + f (a ) (x − a ) es un polinomio de grado ≤ 1.Considere un pequeño número ∆x y como entrada a + ∆x (que entonces esta cercano a a ) entonces p (a + ∆x ) = = el cambio en f es por definición ∆ f ≡ f (a + ∆x ) − f (a ) entonces f (a + ∆x ) = f (a ) + ∆f Observación 1.1. Representar gráficamente las cantidades anteriores para una mejor comprensión. f (a ) + f (a ) (a + ∆x − a ) f (a ) + f (a ) ∆x

Ejemplo 1.1. Calcular f (a + ∆x ) y p (a + ∆x )cuando f (x ) = x 3 , a = 1, ∆x = 0.1 Como a + ∆x = 1.1 se sigue f (1.1) = (1.1)3 = 1.331 y p (1.1) = = = f (1) + f (1) (0.1) 1 + 3 (0.1) 1.3

notar que p (a + ∆x ) da una buena aproximación de f (a + ∆x ). Las cantidades p (a + ∆x ) = f (a ) + f (a ) ∆x y f (a + ∆x ) = f (a ) + ∆ f son parecidas si y solo si f (a ) ∆x y ∆f son parecidas. La expresión f (a ) ∆x es llamada diferencial y comoveremos es una aproximación de ∆f . Definición 1.1. Sean y = f (x ) una función diferenciable y a un número en el dominio de f . Llamaremos la diferencial de f en a a la cantidad f (a ) ∆x . esta será denotada por d f o d y .

Observación 1.2. En la definición de diferencial hay dos variables independientes a y ∆x . Mostremos que d f es en efecto una aproximación de ∆f . Error de aproximación = = =si ∆x → 0 entonces ∆f − d f f (a + ∆x ) − f (a ) − f (a ) ∆x f (a + ∆x ) − f (a ) − f (a ) ∆x ∆x

f (a + ∆x ) − f (a ) − f (a ) → 0 ∆x

se sigue que el error en la aproximación tiende a cero. Es frecuente utilizar x en lugar de a en la definición de diferencial, de esta forma se escribe d f = f (x ) ∆x donde x y ∆x son independientes.

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Note que si se conoce una expresión para la derivada de inmediato conocemos una expresión para la diferencial d x3 d (tan x ) d (x ) = = = 3x 2 ∆x sec2 x ∆x ∆x

por la última expresión se acostumbra escribir d x = ∆x y la diferencial de f se escribe d f = f (x ) d x o d y = f (x ) d x note que los símbolos d y y d x tienen un significado propio y tienesentido dividir por d x de aquí surge la notación dy = f (x ) dx para las derivadas en donde estamos viendo d y /d x efectivamente como un cuociente de diferenciales. Teorema 1.1. Sean f y g funciones diferenciables entonces 1. d f + g = d f + d g 2. Si α ∈ entonces d αf = αd f

3. d f g = d f g + f d g 4. d
f g

=

(d f ) g − f (d g )
g2

5. d f ◦ g = f

g dg

Definición 1.2. Laexpresión p (x ) = f (a ) + f (a ) (x − a ) es llamada linealización de f (x ) en a y representa la mejor aproximación mediante una recta que se puede hacer para f cerca de a .

Ejemplo 1.2. Encontrar la linealización de f (x ) = tan x en x = π . 4 Como f
π 4

=1y f

π 4

= sec2

π 4
3

= 2 se tiene que la linealización es y = 1 + 2 x − π 4
3

Ejemplo 1.3. Aproximar el valor de 29...