Cálculo

C´lculo Diferencial
a
Juan R. Mayorga Z.
Instituto de Matem´tica y F´
a
ısica
Universidad de Talca

2007
Versi´n 1.1
o

Juan R. Mayorga Z.

´
CALCULO DIFERENCIAL
para Ingenier´
ıa

c 2007 por Juan Ricardo Mayorga Zambrano. Se autoriza el libre
uso de este material para actividades sin fines de lucro y sujetos a
ley (internacional y/o local) en tanto que se respete suintegridad y
se lo refiera apropiadamente. Todos los derechos reservados para fines
comerciales.

Para contactar al autor:
Juan Mayorga Zambrano
Instituto de Matem´tica y F´
a
ısica
Universidad de Talca
CHILE
E-mail: jrmayorgaz@gmail.com

i

DEDICATORIA

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Za

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o,

“¡Que mis buenas obras
sean multiplicadas y superadas,
en ellos y en su descendencia,
de generaci´n engeneraci´n!
o
o
¡Que en medio de ellos abunden Justos
que sean ejemplo para las naciones!”.

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Versi´n 1.1
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J.

A mis hijos, Daniel y Keren, con todo mi amor:

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Prefacio

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1. Introducci´n
o
1.1. Relaciones y Funciones . . . . . . . . . . . . .
1.2. El conjunto de los n´ meros reales . . . . . . .
u
1.2.1. Axiomas . . . . . . . .. . . . . . . . .
1.2.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Valor Absoluto y Distancia . . . . . . .
1.2.5. Acotamiento y el Axioma del Supremo
1.3. Los espacios R2 y R3 . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . .

M
ay
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Versi´n 1.1
o

J.

Tabla de contenidos

2.Funciones reales de variable real
2.1. Dominio de definici´n o
o
M´ximo dominio . . . . . . . . . . . . . . . .
a
2.2. Graficaci´n de funciones . . . . . . . . . . . .
o
2.3. Algebra de funciones . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Composici´n de funciones . . . . . . . . . . .
o
2.6. Traslaci´n y Cambio de Escala . . . . . . . . .
o
2.6.1.Traslaci´n en la variable independiente
o
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3. L´ımites y Continuidad de funciones reales
3.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Noci´n intuitiva de l´
o
ımite . . . . . . . . .
3.2.1. L´
ımite de una Sucesi´n . . . . . . .
o
3.2.2. L´
ımite de una funci´n . . . . . . .
o
3.3. Definiciones de l´
ımites . . . . . . . . . . .
3.4. Teoremas y Proposiciones sobre l´
ımites . .
3.5. Continuidad . . . . . . . . . . . . . .. . .
3.6. Tipos de discontinuidad . . . . . . . . . .
3.7. Teoremas sobre continuidad . . . . . . . .
3.8. El M´todo de las Bisectrices . . . . . . . .
e
3.9. C´lculo de l´
a
ımites . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1. L´
ımites Fundamentales . . . . . . .
3.9.2. Cambio de Variable . . . . . . . . .
3.9.3. Infinit´simos . . . . . . . . . . . . .
e
3.9.4. Infinitos . . . . . . . . . ....