Cálculo
o
Resumen
Se dan f´rmulas relacionadas con las funciones de Bessel de primera, segunda y tercera especie,
o
las funciones de Bessel modificadas y las funciones esf´ricas de Bessel.
e
Funciones de Bessel de 1a especie
1.
1.1.
Ecuaci´n de Bessel
o
La ecuaci´n de Bessel de orden ν es
o
z 2 u (z ) + z u (z ) + (z 2 − ν 2 ) u(z ) = 0 .
(1)Cuando ν no es un n´mero entero, la soluci´n general es de la forma
u
o
u(z ) = A Jν (z ) + B J−ν (z ) ,
donde A y B constantes y
∞
Jν (z ) =
bessel.nb
j =0
(−1)j
Γ(j + 1) Γ(j + ν + 1)
(2)
z
2
2j +ν
(3)
Si ν es un n´mero entero, v´ase la secci´n dedicada a las funciones de Neumann (funciones de Bessel de
u
e
o
2a especie).
1.2.
Propiedades
1
0.8
0.60.4
0.2
J0 HzL
J1 HzL
2
J2 HzL
4
6
-0.2
-0.4
1
8
z
Funciones de Bessel – A.Nieto
2
1.
J1/2 (z )
J−1/2 (z )
2
sin z
πz
2
cos z
πz
=
=
(4)
(5)
2. Cuando |z | → 0,
J0 (z ) ≈
z
2
1−
2
(6)
ν
1
z
Γ(ν + 1) 2
z
J0 (z ) ≈ −
2
z ν −1
1
Jν (z ) ≈
2Γ(ν ) 2
Jν (z ) ≈
ν=0
(7)
(8)
ν=0
(9)
3. Para las funcionesde Bessel de orden entero n:
=
Jn (−z )
(−1)n Jn (z )
(10)
=
J−n (z )
n
(11)
(−1) Jn (z )
4. Relaciones de recurrencia
Jν −1 (z ) + Jν +1 (z )
=
Jν −1 (z ) − Jν +1 (z )
=
o, de forma equivalente,
Jν ±1 (z ) =
ν
Jν (z )
z
2ν
Jν (z )
z
2Jν (z )
(12)
(13)
Jν (z )
5. F´rmula wronskiana
o
Jν (z ) J−ν (z ) − Jν (z ) J−ν (z ) =
(14)−2 sin(πν )
πz
(15)
6.
d
z ν Jν (z )
dz
d
z −ν Jν (z )
dz
7.
b
z Jν (kz )Jν (lz ) dz =
a
= z ν Jν −1 (z )
(16)
= −z −ν Jν +1 (z )
(17)
1
lz Jν (kz )Jν (lz ) − kz Jν (lz )Jν (kz )
k 2 − l2
8.
2
z Jν (kz ) dz =
1 2 ν2
z2
2
z − 2 Jν (kz ) +
J (kz )
2
k
2ν
b
(18)
a
2
(19)
9. La funci´n generatriz de las funci´nes de Bessel de 1a especiees
o
o
g (z, t) ≡ exp
z
2
t−
1
t
+∞
Jn (z ) tn
=
n=−∞
(20)
Funciones de Bessel – A.Nieto
3
10.
+∞
Jn (x + y ) =
Jk (x) Jn−k (y )
(21)
Jn (z ) einθ
(22)
k=−∞
11.
+∞
e
iz sin θ
=
n=−∞
o
+∞
cos(z sin θ)
= J0 (z ) + 2
J2k (z ) cos(2kθ)
(23)
J2k+1 (z ) sin [(2k + 1)θ]
(24)
k=1
+∞
sin(z sin θ)
=2
k=0
(25)
12. Representaci´n integral de Schl¨fli:
o
a
Jn (z ) =
1
2πi
C
e(z/2)(t−1/t)
dt
tn+1
(26)
donde el contorno C es de la forma
t
C
En general
Jν (z ) =
1
2πi
C
e(z/2)(t−1/t)
dt
tν +1
(27)
donde con el contorno C es de la forma
t
C
Funciones de Bessel – A.Nieto
4
Tambi´n
e
Jn (z )
Jn (z )
1.3.
=
=
1
2π
1
ππ
ei(z sin θ−nθ) dθ
(28)
−π
π
cos(z sin θ − nθ) dθ
(29)
0
Ortogonalidad de la funci´n de Bessel de 1a especie
o
Denotemos como xνk el k -´simo cero de la funci´n de Bessel Jν (x): Jν (xνk ) = 0. Denotemos como
e
o
xν k el k -´simo cero de la derivada de la funci´n de Bessel Jν (x): Jν (xν k ) = 0.
e
o
Consideremos el intervalo 0 ≤ x ≤ a. Entonces, los conjuntos defunciones
xνk
Jν
x
(30)
a
y
xν k
Jν
x
(31)
a
son ortogonales con peso x en dicho intervalo:
a
x Jν
0
a
x Jν
0
xνl
a2
xνk
x Jν
x dx =
J (xνk )
a
a
2ν
xν k
x Jν
a
2
δkl
a2
xν l
ν2
x dx =
1−
J 2 (x ) δkl
a
2
(xν k )2 ν ν k
(32)
(33)
Funciones de Bessel de 2a especie: Funciones de Neumann
2.
2.1.
Definici´n
o
2.2.
ν = 0, 1, 2,. . .
l´ cos(sπ )Js (z ) − J−s (z )
ım
s→ν
sin(sπ )
Nν (z ) ≡
cos(νπ )Jν (z ) − J−ν (z )
sin(νπ )
ν = 0, 1, 2, . . .
(34)
Ecuaci´n de Bessel de Orden Entero
o
La ecuaci´n de Bessel de orden entero n es
o
z 2 u (z ) + zu (z ) + (z 2 − n2 )u(z ) = 0 .
(35)
La soluci´n general es de la forma
o
u(z ) = AJn (z ) + BNn (z ) ,
(36)...
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