Cálculo

Cu ́al es el valor de la temperatura en esos puntos?
En el instante t = 0, un objeto sale despedido de la superficie x2+2y2+3z2 = 6, en el punto (1,1,1), en direcci ́on normal a la superficie, conrapidez de 10 unidades por segundo.
a) ¿En qu ́e instante de tiempo atraviesa el objeto cada uno de los planos coordenados?
b) ¿En qu ́e punto se encuentra el objeto en el instante t = 7?
c) ¿En qúe punto atraviesa, el objeto, la superficie x2 + y2 + z2 = 103?
d) Si a partir del momento en que el objeto sale despedido de la superficie, se ejerce sobre ́el la fuerza F = 4mj − 10mk (donde m esla masa del objeto), cua ́l es la altura ma ́xima que alcanza el objeto sobre el plano z = 0? y ¿cua ́l es el punto de impacto del objeto con el plano z = 0?
e) Si a partir del momento en que elobjeto sale despedido de la superficie, se ejerce sobre ́el la fuerza F = 4mj−10mk (donde m es la masa del objeto), ¿cua ́l es la altura ma ́xima que alcanza el objeto sobre el plano tangente a lasuperficie en el punto (1,1,1) ? y ¿cua ́l es el punto de i
df(x,y) =
= =
∇f(x,y)·v
∥∇f (x, y)∥ ∥v∥ cos θ
∥∇f (x, y)∥ cos θ,
s i e n d o θ e l ́a n g u l o e n t r e ∇ f ( x , y ) y v . D e a q u ́ıq u e , l a d i r e c c i ́o n e n l a q u e l a d e r i v a d a
direccional df (x, y) es ma ́xima es aquella en la que v tiene la misma direcci ́on y dv df
A partir de esta u ́ltima, se deducenvarias propiedades del vector gradiente. En efecto,
dv
sentido de ∇f(x,y). En este caso, dv(x,y) = ∥∇f(x,y)∥ es la raz ́on de ma ́ximo crecimiento de la funci ́on en el punto (x, y) . De igualmanera, en el sentido opuesto al del gradiente se obtiene el ma ́ximo decrecimiento de la funci ́on en el punto y
df (x, y) = − ∥∇f (x, y)∥ es la raz ́on de ma ́ximo decrecimiento de la funci ́on en el dvpunto (x,y).
P o r o t r o l a d o , s i r = r ( t ) e s u n a p a r a m e t r i z a c i ́o n d e l a c u r v a d e n i v e l N kf , s e t i e n e que k = f(r(t)) y por consiguiente, 0 =...