Cálculo

Tema 1

Funciones de Variable Real
1.1.

La Recta Real

Los n´meros reales se pueden ordenar como los puntos de una recta.
u
Los enteros positivos {1, 2, 3, 4, . . .} que surgen al contar, se llaman n´meros naturales
u
(el cero se puede considerar o no como un n´mero natural, nosotros no lo haremos).
u
Las operaciones aritm´ticas de adici´n y multiplicaci´n se pueden hacer dentro dee
o
o
los n´meros naturales pero la resta y la divisi´n nos lleva a introducir los siguientes
u
o
n´meros:
u
cero: 3 − 3 = 0,
negativos: 2 − 6 = −4,
3
fracciones: 3 ÷ 5 = .
5
Por tanto, podemos clasificar los n´meros de la manera siguiente:
u
Naturales: N = {1, 2, 3, 4, . . .}
Enteros: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}
el cero junto con los enteros positivos ynegativos
Racionales: Q =

m
: m, n ∈ Z, n = 0
n

Irracionales: son los n´meros reales que no son racionales, como por ejemplo
u
√
2, π, e
Reales: R = Irracionales + Racionales

2

Funciones de Variable Real

Todos estos n´meros aparecen como soluci´n de ecuaciones:
u
o
x − 1 = 0 → x = 1,
x + 3 = 0 → x = −3,
1
2x + 1 = 0 → x = − ,
√ 2
x2 = 2 → x = ± 2, √
x2 + 1 = 0 → x = ± −1 ∈R → Son los n´ meros Complejos:
/
u
√
C = {a + bi : a, b ∈ R, i = −1}.

´
´
METODOS DE RAZONAMIENTO MATEMATICO
La definici´n de los n´meros naturales es la siguiente:
o
u
1 ∈ N. Si n ∈ N, tambi´n pertenece n + 1
e
Veamos c´mo funciona esta definici´n:
o
o
3 ∈ N ⇒ 3 + 1 = 4 ∈ N,
3/2 ∈ N ⇒ 3/2 + 1 = 5/2 ∈ N.
/
/
Esta definici´n de los n´meros naturales nos introduce el proceso deinducci´n:
o
u
o

Demostraci´n por inducci´n
o
o
Es una t´cnica para probar una afirmaci´n realizada sobre cada n´mero natural:
e
o
u
La afirmaci´n es verdadera para n = 1
o
Si la afirmaci´n es verdadera para n ∈ N, entonces tambi´n es verdadera para
o
e
su sucesor: n + 1 ∈ N
Esto implica que la afirmaci´n es cierta para todo n´mero natural n.
o
u
n

Como ejemplo, podemos probarpor inducci´n que
o

i=
i=1

n(n + 1)
.
2

Demostraci´n Directa
o
La idea es probar la afirmaci´n directamente
o
Por ejemplo, para demostrar que (a − b)(a + b) = a2 − b2 ,
s´lo tenemos que operar directamente (a − b)(a + b) = a2 − ba + ab − b2 = a2 − b2 .
o

1.1. La Recta Real

3

Demostraci´n por contradicci´n o Reductio ad absurdum
o
o
Queremos probar una hip´tesis
oAsumimos lo opuesto a la hip´tesis y
o
Terminamos con una contradicci´n
o
Concluimos que la hip´tesis es verdadera
o
√
Como ejemplo, mostraremos que 2 es irracional:
√
√
a
2 ∈ Q → 2 = fracci´n irreducible.
o
b
2
√
a
a
2 = → 2 = 2 → a2 = 2b2 → a2 es par → a par → a = 2r →
b
b
a2 = 4r = 2b2 → b2 par → b par.
a
Si a y b son pares, entonces no puede ser una fracci´n irreducible→ contradicci´n!
o
o
b
√
2 ∈ Q.
/
DESIGUALDADES, VALOR ABSOLUTO
Propiedades de Orden de R
a, b, c ∈ R
1. S´lo una de las siguientes afirmaciones se verifica: a < b, a = b, a > b
o
2. Si a < b y b < c, entonces a < c
3. Si a < b entonces a + c < b + c para todo n´mero real c
u
4. Si a < b y c > 0 entonces ac < bc
Si a < b y c < 0 entonces ac > bc
Propiedad. Entre dos n´meros realesdistintos existen infinitos n´meros racionales e
u
u
irracionales.
Definici´n 1.1.1 El Valor Absoluto de x ∈ R es:
o
x, si x ≥ 0,
−x, si x < 0.
√
Tenemos la definici´n alternativa: |x| = x2 .
o
|x| =

La idea geom´trica del valor absoluto es la de distancia. Por ejemplo, ¿qu´ puntos est´n
e
e
a
a distancia 3 del 0? La respuesta es |x| = 3, es decir x = ±3.
Definici´n 1.1.2 Si x, y ∈ Rla distancia entre x e y es
o
d(x, y) = |x − y|.

4

Funciones de Variable Real

Propiedades del valor absoluto
x, y ∈ R
1. |x| = 0 ⇐⇒ x = 0
2. | − x| = |x|
3. |xy| = |x||y|
4. |x + y| ≤ |x| + |y|
5. ||x| − |y|| ≤ |x − y|

Intervalos en R
Intervalo abierto: (a, b) son todos los valores de x tal que a < x < b.
Intervalo cerrado: [a, b] son todos los valores de x tal que a ≤ x...