cálculo

1.2.2 Resolución de Integrales por  Cambio de Variable
 
Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original. A esto sele denomina cambio de variable (CDV).
 
Luego de hacer efectivo el CDV, por lo general, se obtienen integrales más sencillas que la original, las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el método anterior. Por esta razón, es necesario que el lector haya estudiado detalladamente dicho método puesto que en la solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicaciónespecífica de este contenido que ya debe ser parte de sus redes conceptuales.
 
Es importante señalar que el resultado de la integración, debe estar en función de las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el término “devolviendo el cambio de variable” para reseñar el proceso mediante el cual la variable auxiliar desaparece de la respuesta definitiva.
 
A continuación sepresenta un conjunto de ejemplos, cuya función es introducir este segundo método de integración.
 

Ejemplo 1
     Resolver la siguiente integral:

 
Solución
Método a emplear: Integración por cambio de variable.
Regla de integración: Ecuación 1.1
     Desarrollo:
 
 
    En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:
u= 2x+6     (1)
    Debido a (1), la integraloriginal se transforma, momentáneamente en:
 =      (2)
    Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar adx, en función de du y para ello se:
        Deriva ambos  miembros de (1) para obtener:
du=2dx
        Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose:
     (3)
    Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) yademás se aplica la propiedad 1 de los O.L , se obtiene:
 =  = 
    Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Para su solución basta con aplicar laEcuación 1.1. Así:
 =     
    Devolviendo el CDV, u=2x+6 , se obtiene la respuesta final. Por tanto:

 
 




 
 
Ejemplo 2
     Resolver la siguiente integral:

 
Solución
Método a emplear: Integración por CDV.
Regla deintegración: Ecuación 1.1
     Desarrollo:
 
 
    En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:
u= 4x -1     (1)
    Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:
 =     (2)
    Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar adx, en función de du y para ello se:
        Deriva ambos  miembrosde (1) para obtener:
du=4dx
        Divide la expresión anterior entre 4, obteniéndose:
     (3)
    Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) y además se aplica la propiedad 1 de los O.L , se obtiene:
 =  = 
    Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Aplicando exponente fraccionario y la Ecuación 1.1., se obtiene:
 =     
    Devolviendo el CDV, u= 4x-1, se obtiene la respuesta final. Por tanto:

 

Ejemplo 3
     Resolver la siguiente integral:

 
Solución
Método a emplear: Integración por CDV.
Regla de integración: Ecuación 1.3
     Desarrollo:
 
 
    En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:
u= 1-x  (1)
    Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:
 =     (2)    Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe reemplazar a dx, en función du y para ello se:
        Deriva ambos  miembros de (1) para obtener:
du=-1dx
        Divide la expresión anterior entre -1, obteniéndose:
-1du=dx    (3)
    Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) y además se aplica la propiedad 1 de los O.L , se...