Cálculo

Germán Jesús Rubio Luna

Catedrático de Matemáticas

del IES Francisco Ayala

Funciones
Definiciones
Def.- Sean A y B ⊂ R una función real de variable real es toda aplicación:
f : A →
B
x → f(x)=y ,
es decir es una relación que a cada todos los elementos “x” del primer conjunto A le hace
corresponder un único elemento del segundo conjunto B. La función se puede dar
mediante unatabla de valores, una gráfica o una fórmula.
♦♦ A cada persona se le hace corresponder su DNI (si es aplicación)
♦♦ A cada persona se le asocian sus coches (no es aplicación, puede tener mas de uno)
Nota.- Al conjunto A se le llama dominio (nos será más adelante muy útil para ver la
continuidad global) de la función f, y se suele escribir Dom(f) (es el conjunto de valores
que puede tomar la x.Se mira en abscisas OX).
Al conjunto B se le llama recorrido de la función, y se suele escribir Im(f) ó Re(f) (es el
conjunto de valores que puede tomar f(x). Se mira en ordenadas OY ).
A la “x” se le llama variable independiente, y a “f(x)” se le llama variable dependiente
(depende de la “x”, y a veces se escribe “y” )
Def.- La gráfica de una función y=f(x) es el conjunto de todos los paresordenados (x,y)
[puntos del plano cartesiano] donde x es un punto de su dominio (abscisa) e y = f(x), es
decir el valor de la función en el punto x.
Def.- Dos funciones
f : A → B
g : C→ D
x → f(x)
y
x → g(x
)
Diremos que son iguales sii tienen el mismo dominio ( A=C ), el mismo recorrido ( B=D ) y
la misma expresión ( f(x)=g(x) ).
** Las funciones
f : R →
R
g : [0,2]→
R
x →f(x)=2x+1
y
x → g(x)=2x+1
Son distintas puesto que tienen distinto dominio ( la primera es una recta y la segunda es
un segmento)
Nota.- Normalmente cuando nos den una función solo nos darán su expresión analítica
f(x) (su fórmula) y se supondrá que su dominio y su recorrido son los mayores posibles.

Ejemplos de funciones
1) Funciones constantes
Son de la forma f(x)=k con k∈R.
Sudominio es R
Su recorrido o Im(f) = {k}
Su gráfica es una recta paralela (y = nº) al eje de abscisas OX.
♦♦ f(x)=3

Análisis

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Germán Jesús Rubio Luna

Catedrático de Matemáticas

del IES Francisco Ayala

Nota.- También existen las rectas verticales (x = nº), que son paralelas al eje OY.
2) Función lineal o de proporcionalidad directa
Son de la forma f(x)=ax con a ∈R.
Su dominioes R
Su recorrido o Im(f) = R
Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas, (con dos puntos es
suficiente para dibujarla). Al número “a” se le llama pendiente de la recta (es la inclinación
♦♦ f(x)= 2x

Nota.- La recta y = x es la bisectriz (recta que divide en dos partes iguales un ángulo) del I
y III cuadrante
Nota.- La recta y = - x es la bisectriz del II y IV cuadrante3) Funciones afines
Son de la forma f(x) = ax + b con a, b∈R.
Su dominio es R
Su recorrido o Im(f) = R
Su gráfica es una recta, ( con dos puntos es suficiente para dibujarla). Al número “a” se le
llama pendiente de la recta (es la inclinación de la recta sobre la horizontal, eje de
abscisas) y al número “b” se le llama ordenada en el origen (si x=0, origen resulta que
f(0)=a.0+b=b )
♦♦f(x)= 2x-3

4) Funciones cuadráticas
Son de la forma f(x)=ax2 +bx + c con a, b, c∈R.
Su dominio es ℜR
Su recorrido o Im(f) = (-b/a, +∞) si a > 0 ó (-∞, - b/a ) si a < 0
Su gráfica es una parábola como las dibujadas azul o roja
Nota.- Para dibujar una parábola f(x)=ax2 +bx + c, hemos de determinar su vértice. La
 − b  − b 
, f
 ,

 2a  2a  

abscisa del vértice es x =-b/2ª,y el vértice de la parábola es el punto V 


sus

cortes con los ejes (si hacemos x=0 nos salen los cortes con ordenadas que siempre
existe, y si hacemos f(x)=0 y resolvemos la ecuación nos salen los cortes con abscisas, si
los hay pues puede haber dos, uno o ninguno). Si nos hacen falta mas valores de “x” le
damos un par de valores a la “x” pero a izquierda y derecha de la abscisa...