Cálculo

CAPÍTULO

5
La derivada

1

5.3 Velocidad instantánea
Si un móvil recorre 150 km en 2 horas, su velocidad promedio es
def

v D vmedia D

150 km
espacio recorrido
D
D 75 km/h :
tiempo empleado
2h

Pero no conocemos la velocidad que lleva el móvil en un punto arbitrario de su trayectoria.
Pensemos ahora que s D s.t/ es una función que le asigna a cada tiempo t un punto en uneje, es
decir, la función de posición de un móvil.
Para t 6D a, la velocidad promedio que tiene el móvil en el intervalo de tiempo Œa; t o bien Œt; a es
v D vmedia D

s.t/
t

s.a/
s.a/
D
a
a

s.t/
:
t

Parece natural pensar que mientras más próximo esté t al número a, la velocidad promedio en el
intervalo entre a & t se parecerá más a la velocidad que lleva el móvil en elinstante a. Ejemplifiquemos numéricamente esta idea:
Ejemplo 5.3.1 Sea s.t/ D 5t 2 la posición en metros de un cuerpo t segundos después de haber partido del
reposo.

H Si a D 2 s, entonces s.a/ D 5a2 D 5.2/2 D 20 m. Además:
1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2

Cálculo Diferencial e Integral I

Si

entonces
t

a

s.t/

s.a/

vN D

s.t/
t

s.a/
a

t

s.t/

Œa; t3

45

Œ2; 3

1

25

25 m/s

2:5

31:25

Œ2; 2:5

0:5

11:25

22:5 m/s

2:2

24:20

Œ2; 2:2

0:2

4:20

21 m/s

2:1

22:05

Œ2; 2:1

0:1

2:05

20:5 m/s

2:01

20:2005

Œ2; 2:01

0:01

0:2005

20:05 m/s

2:001

20:020005

Œ2; 2:001

0:001

0:020005

20:005 m/s

Notamos que cuanto más se acerca t al número a D 2, lavelocidad promedio vN se acerca cada vez
más al número v D 20. Es decir, vN ! 20 m/s cuando t ! 2 s.
Intuitivamente podemos decir que la velocidad instantánea v.t/ en t D 2 s es v D 20 m/s.
Definimos la velocidad instantánea en a, denotada por v.a/, como
def

v.a/ D lím
t!a

o bien
def

s.t/
t

s.a/
D s 0 .a/
a

s.a C h/
h!0
h

v.a/ D lím

s.a/

D s 0 .a/ :Ejemplifiquemos esta definición.

Ejemplo 5.3.2 Sea s.t/ D 8 C 20t 5t 2 la posición (en metros) de un móvil en el instante (segundo) t
Determinar la velocidad instantánea v.t/ del móvil en el instante:

H
2

1. t0 arbitrario;

3. t0 D 2 s;

2. t0 D 1 s;

4. t0 D 3 s.

0.

5.3 Velocidad instantánea
1. Ya que v.t0 / D lím

t!t0

3

s.t/
t

s.t0 /
, entonces
t0

s.t/ s.t0 /
.8C 20t 5t 2 / .8 C 20t0
D lím
t!t0
t!t0
t t0
t t0
2
2
8 C 20t 5t
8 20t0 C 5t0
D lím
D
t!t0
t t0
20.t t0 / 5.t 2 t02 /
D lím
D
t!t0
t t0
20.t t0 / 5.t t0 /.t C t0 /
D lím
D
t!t0
t t0
D lím Œ20 5.t C t0 / D 20 5.t0 C t0 / D 20 10t0 :

v.t0 / D lím

5t02 /

D

t!t0

2. v.t0 D 1/ D 20

10.1/ D 10 ) v.1/ D 10 m/s.

3. v.t0 D 2/ D 20

10.2/ D 0 ) v.2/ D 0 m/s.4. v.t0 D 3/ D 20

10.3/ D 10 ) v.3/ D 10 m/s.

El signo

indica que el móvil se desplaza en sentido contrario al del eje.

Ejemplo 5.3.3 Calcular la velocidad instantánea de una partícula cuya posición está dada por la función:
s.t/ D at 3 C bt 2 C ct C d donde a; b; c & d son constantes.
H La velocidad instantánea en cualquier tiempo t0 es
s.t0 /
.at 3 C bt 2 C ct C d / .at03 C bt02C ct0 C d /
D lím
D
t!t0
t!t0
t0
t t0
t03 / C b.t 2 t02 / C c.t t0 /
D lím
D
t!t0
t t0
a.t t0 /.t 2 C t t0 C t02 / C b.t t0 /.t C t0 / C c.t t0 /
D lím
D
t!t0
t t0
D lím a.t 2 C t0 t C t02 / C b.t C t0 / C c D

v.t0 / D lím

D

t!t0
a.t02

s.t/
t
a.t 3

C t02 C t02 / C b.t0 C t0 / C c D

D a.3t02 / C b.2t0 / C c :
Esto es, en cualquier instante t

0

v.t/ Da.3t 2 / C b.2t/ C c D 3at 2 C 2bt C c :

3

4

Cálculo Diferencial e Integral I

Razón de cambio
Ahora bien la función s D s.t/ puede tener cualquier otra interpretación, por ejemplo, puede
ser la cantidad de una sustancia, el número de individuos que hay en cierta población, la
carga de un capacitor eléctrico, o bien el costo de producir algo, etc. La diferencia s.t/
s.a/ es el...