Cálculo

1

1.
1.1.

SUCESIONES Y SERIES

Sucesiones y series
La recta real

Problema 1.1.1
1 ) Sean los n´
umeros reales 0 < a < b y k > 0, demuestra ls desigualdades
√
a) a <

ab <

a+b
< b,
2

b)

a
a+k
<
.
b
b+k

2 ) Demuestra que |a + b| = |a| + |b| ⇔ ab ≥ 0.
3 ) Demuestra la desigualdad |a − b| ≥ |a| − |b| , para todo a, b ∈ R.
4 ) Demuestra que:
a) m´
ax{x, y} =x + y + |x − y|
,
2

b) m´ın{x, y} =

5 ) Expresa en una sola f´
ormula la funci´
on f (x) = (x)+ =

x
0

x + y − |x − y|
.
2

si x > 0,
si x ≤ 0.

Problema 1.1.2 Escribe como intervalos o uni´on de intervalos los siguientes conjuntos de n´
umeros reales:
1 ) A = {x ∈ R : |x − 3| ≤ 8},

6 ) F = {x ∈ R : 4/x < x},

2 ) B = {x ∈ R : 0 < |x − 2| < 1/2},

7 ) G = {x ∈ R :4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2},

3 ) C = {x ∈ R : x2 − 5x + 6 ≥ 0},

8 ) H = {x ∈ R : |x2 − 2x| < 1},

4 ) D = {x ∈ R : x3 (x + 3)(x − 5) < 0},

9 ) I = {x ∈ R : |x − 1||x + 2| = 10},

5 ) E = {x ∈ R :

2x+8
x2 +8x+7

10 ) J = {x ∈ R : |x − 1| + |x − 2| > 1}.

> 0},

Problema 1.1.3 Dados dos n´
umeros reales a < b, definimos para cada t ∈ R el n´
umero x(t) ≡
(1 − t)a + tb. Describelos siguientes conjuntos de n´
umeros:
1 ) A = {x(t) : t = 0, 1/2, 1},

3 ) C = {x(t) : t < 0},

2 ) B = {x(t) : t ∈ (0, 1)},

4 ) D = {x(t) : t > 1}.

Problema 1.1.4 Halla el supremo, el ´ınfimo, el m´aximo y el m´ınimo (en caso de existir) de los siguientes
conjuntos de n´
umeros reales:
1 ) A = {−1} ∪ [2, 3),

5 ) E = {x ∈ R : 3x2 − 10x + 3 ≤ 0},

2 ) B = {3, 2, −1} ∪ [0, 1],6 ) F = {x ∈ R : (x−a)(x−b)(x−c)(x−d) < 0}
con a < b < c < d,

3 ) C = {2 + 1/n : n ∈ N},

7 ) G = {2−p + 5−q : p, q ∈ N},

2

4 ) D = { n n+1 : n ∈ N},

8 ) H = {(−1)n + 1/m : m, n ∈ N}.

Problema 1.1.5 Representa en el plano R2 los siguientes conjuntos:
1 ) A = {(x, y) ∈ R2 : |x − y| < 1},

4 ) D = {(x, y) ∈ R2 : |2x| + |y| = 1},

2 ) B = {(x, y) ∈ R2 : x2 < y < x},

5 ) E= {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + (y + 2)2 < 4},

3 ) C = {(x, y) ∈ R2 : x + y ∈ Z},

6 ) F = {(x, y) ∈ R2 : |1 − x| = |y − 1|},
1

1.2

Principio de inducci´
on

1

7 ) G = {(x, y) ∈ R2 : 4x2 + y 2 ≤ 4, xy ≥ 0},

SUCESIONES Y SERIES

8 ) H = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 < 9, y ≤ 0}.

Problema 1.1.6 Sea el tri´angulo en el plano formado por los puntos (a, 0), (−b, 0) y (0, c), con a,b, c > 0.
1 ) Calcula el punto de corte de las tres alturas.
2 ) Calcula el punto de corte de las tres medianas.
3 ) ¿Cu´ando coinciden estos dos puntos?

Problema 1.1.7
1 ) Sea la par´abola G = {(x, y) ∈ R2 : y = x2 } y el punto P = (0, 1/4), halla c ∈ R tal que los puntos
de G equidistan de P y de la recta horizontal L = {(x, y) ∈ R2 : y = c}.
2 ) El conjunto de puntos que equidistan deun punto P = (a, b) y de una recta L = {(x, y) ∈ R2 : y =
c} es la par´abola de ecuaci´
on y = αx2 + βx + γ. Halla α, β y γ en funci´on de P y de L.

Problema 1.1.8
1 ) Halla el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos P1 = (c, 0) y P2 = (−c, 0)
es 2a (con a > c).
2 ) La misma cuesti´
on pero sustituyendo la suma por la diferencia y con a < c.

1.2.

Principiode inducci´
on

Problema 1.2.1 Utiliza el m´etodo de inducci´on para demostrar las siguientes igualdades:
n

1)

k=
k=1

n

n(n + 1)
,
2

n

(2k − 1) = n2 ,

2)
k=1

k2 =

3)
k=1

n(n + 1)(2n + 1)
.
6

Problema 1.2.2 Demuestra por inducci´
on:
n

rk =

1 ) la suma geom´etrica:
k=0

rn+1 − 1
, para todo n ∈ N y r = 1;
r−1

2 ) el binomio de Newton: (a+ b)n =

n
n
k=0 k

an−k bk , para todo n ∈ N y a, b ∈ R;

3 ) la desigualdad de Bernoulli: (1 + h)n ≥ 1 + nh, para todo n ∈ N y h > −1.
Problema 1.2.3 Demuestra por inducci´
on que para todo n ∈ N se tiene que:
1 ) 10n − 1 es m´
ultiplo de 9;
2 ) 10n − (−1)n es m´
ultiplo de 11
3 ) n3 − n es m´
ultiplo de 6;
4 ) n5 − n es m´
ultiplo de 5.

1.3.

Sucesiones de n´
umeros...