Círculo De Mohr

Páginas: 13 (3191 palabras) Publicado: 27 de septiembre de 2012
Círculo de Mohr

Capítulo 11

CAPÍTULO 11
CIRCULO DE MOHR
11.1

ESFUERZOS EN EL SUELO ESFUERZOS NORMALES Y TANGENCIALES

Notación:
σ = Sigma = Esfuerzo normal o directo a la superficie.
τ = Tau = Esfuerzo de cizalladura o cortante a la superficie.
σ > 0 = Compresión; σ < 0 = Tracción.
τzx = Cortante en la dirección X, sobre el plano Z (el plano Z
es el plano X – Y).
σz = Esfuerzonormal y en la dirección Z.

Figura 11.1 Esfuerzos en una masa de
suelo

Sobre las caras del cubo existen 9 elementos (fig. 11.1), las
que se pueden escribir así:

σ xx

τ yx
 τ zx


τ xy τ xz 

σ yy τ yz  = σ = Tensor general de esfuerzos en R3
τ zy σ zz 


(11.1)

Tomando momentos (esfuerzo, por área, por distancia) para hacer rotar el cubo en torno a un ejecentral
paralelo al eje Z e igualando a 0 (cero), tenemos que τxy y τyx son los dos esfuerzos que pueden hacerlo.



xy

][

]

* a 2 * a 2 − τ yx * a 2 * a 2 = 0

entonces:

τxy = τyx

(11.2)

Reduciendo el problema a dos dimensiones únicamente, (11.1)
puede escribirse con sólo 3 componentes y no 4, según (11.2).

σ x τ xy 
= σ = Tensor de esfuerzos en R2 (11.3)
τ
σy
xy


Figura 11.2 Esfuerzos en un plano

En el plano Z (o X,Y), se dibuja las 4 componentes del esfuerzo.
En este caso σx, σy compresivos. τyx se ha hecho τxy. Entonces, de
las 4 componentes del esfuerzo, tres son independientes: Las de la
ecuación (11.3).

129

Círculo de Mohr

Capítulo 11

La ecuación (11.3) y la ecuación (11.1) se pueden expresar, para los esfuerzosprincipales, en R2 y R3, así:

0
σ
σ = 1

 0 σ2

σ 1 0
σ =  0 σ2

0 0


y

0
0

σ3


(11.4)

Los tensores expresados en (11.4) suponen una rotación del sistema, hasta que los cortantes se hagan nulos
(τi j = 0), según lo visto en la Sección 10.6.
11.2 ESFUERZOS EN UN PLANO.
El problema es que, conocido el tensor en R2,
calcular σθ y τθ, siendo θ el ángulo delplano con el
eje Y (o del esfuerzo normal al plano, con el eje X).
NOTA: La matriz de cosenos directores en R2 es la
del coseno del ángulo de (σθ, τθ) con (X, Y):

(
θ
cos90° −θ )
cosx' x cosx' y  cos
Tθ = 
 = cos90° +θ )
cos
θ

cosy' x cosy' y  (
 cosθ
Tθ = 
− sen θ

Figura 11.3 Esfuerzos en un plano.

sen θ 
cosθ 


(11.5)

Para (11.9)
Considerando elequilibrio estático, la ΣF = 0 ∴
AB PX = OB σX + OA τXY ; AB PY = OA σX + OB τXY
OA = AB senθ

Pero

(11.6)

OB = AB cosθ

(11.7)

Llevo (11.7) a (11.6) y cancelo AB
PX = TX cosθ + τXY senθ

PY = σY cosθ + τXY senθ

Pero a) σn = PX cosθ + PY senθ

(11.8)

b) τn = PY cosθ - PX senθ

(11.9)

(11.8) en (11.9) ∴ tendiendo en cuenta (11.2) y aplicando la identidad de las fórmulas11.17:
σθ = σX cos2θ + 2τxy senθ cosθ + σY sen2θ que se transforma

σθ =



x

+σ y )
2

+



x

−σ y )
2

cos 2θ + τ xy sen 2θ

τθ = τxy (cos2θ - sen2θ) – (σx – σy)senθ cosθ

130

(11.10)

Círculo de Mohr

Capítulo 11

τ θ = τ xy cos 2θ −

además,

tg 2θ =



−σ y )

x

2

sen 2θ

(11.11)

− 2τ xy



x

−σ y )

(11.12)

Porconvención, los esfuerzos principales son σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. En R2 σ1 ≥ σ2.

σ1 =

1
2
(σ x + σ y ) + 1 (σ x − σ y )2 + 4τ xy
2
2

[

]

σ2 =

1
2
(σ x + σ y ) − 1 (σ x − σ y )2 + 4τ xy
2
2

[

]

1

2

1

(11.13)

2

(11.14)

A veces es conveniente el análisis de los ejes X e Y en la dirección de σ1, σ2, entonces de (10) y (11), cuando
τxy = 0:

σθ =

1
(σ 1 +σ 2 ) + 1 (σ 1 − σ 2 ) cos 2θ
2
2

τθ = −

(11.15)

1
(σ 1 − σ 2 ) sen 2θ
2

(11.16)

(11.10) – (11.11) –(11. 13) – (11.14) – (11.15) y (11.16) se denominan “ECUACIONES PARAMÉTRICAS”
Cos2θ = cos2θ - sen2θ

IDENTIDAD

cos 2 θ =

1

sen2θ = 2senθ cosθ

2 (1 + cos 2θ )

sen 2 θ =

1

2

(1 − cos 2θ )

(11.17)

11.2.1 El plano de máximo esfuerzo de cizalladura:...
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