círculo







MATEMÁTICAS III
Conceptos a utilizar:
Coordenadas cartesianas, lugar geométrico, recta, segmento y segmento dirigido, punto medio de un segmento, rectas notables en un triángulo, baricentro, circuncentro, ortocentro, incentro, bisectriz de un ángulo, círculo, cuerda, tangente, circunferencia, parábola y elementos asociados a una parábola.
UNIDAD I: SISTEMA DE EJES COORDENADOS
(1)Gráfica de un lugar geométrico (intersecciones con los ejes y simetrías).
(2) Rectas y segmentos.
(a) Distancia entre dos puntos.
(b) Punto medio de un segmento.
(c) Ángulo de inclinación y pendiente de una recta.
(d) Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
(e) Ángulo entre dos rectas.

UNIDAD II: LA LÍNEA RECTA
(1) Formas de la ecuación de la recta.
(a) Punto-pendiente.
(b)Simétrica.
(c) General.
(2) Distancia entre un punto y una recta.
(3) Ecuaciones de rectas notables en un triángulo y sus puntos de intersección.
UNIDAD III: LA CIRCUNFERENCIA
(1) Elementos asociados a una circunferencia.
(2) Circunferencia con centro en el origen.
(3) Circunferencia con centro fuera del origen.
(4) Ecuación general de la circunferencia.

UNIDAD IV: LA PARÁBOLA

(1)Caracterización geométrica (lugar geométrico y elementos asociados).
(2) Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen (horizontal y vertical).








PROBLEMAS RESUELTOS
(1) Halla las intersecciones con los ejes de 
Solución:
Para x=0, y=0, por lo tanto, P(0,0) representa ambas intersecciones.
(2) Una recta pasa por los puntos A(2,2) y B(3,3). Halla la pendiente y suángulo de intersección.
Solución:


(3) Dados los puntos A(2,2), B(3,3) y C(9,9), halla la razón  en que el punto B divide al .
Solución:



(4) Una recta L1 pasa por los puntos A(2,3) y B(4,8). Otra recta L2, perpendicular a L1 pasa por el punto C(-2,3) y por el punto D de ordenada 4. Halla la abscisa del punto D.
Solución:
. Por lo tanto, 

(5) Una recta pasa por los puntosA(-2,3) y B(6,4). Halla su ecuación en las formas general y simétrica.

Solución:




Dividiendo toda la ecuación entre -26:

(6) Un segmento está formado por los puntos A(5,8) y B(10,10). Halla la ecuación de su mediatriz.



Solución:

Para el punto medio:




Para la ecuación:


Ecuación de la mediatriz.
(7) Los vértices de un triángulo son los puntos A(-4,5), B(3,6) yC(2,-4). Hallar: (a) El baricentro; (b) La ecuación de la altura del vértice A.
Solución:
(a) Ya que el baricentro es el centro de gravedad del triángulo, se tiene:



Baricentro
(b) 




(8) Una circunferencia con centro en el origen pasa por el punto (3,6).Hallar la ecuación.

Solución:

La forma de la ecuación es  , (h=k=0)

(9) Una circunferencia de centro el punto(5,2) es tangente a la recta x+3y+15=0. Hallar su ecuación en la forma general.

Solución:
El radio se puede obtener con la distancia del centro a la tangente:

La ecuación queda: 
Realizando operaciones indicadas: 
(10) El centro de una circunferencia de radio 7 está sobre la intersección de las rectas x-3y+4=0, 2x+5y-14=0. Hallar su ecuación.

Solución:
Haciendo simultáneas lasecuaciones de las rectas se obtiene el centro: C(2,2). De esta forma la ecuación queda:


(11) Encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje coincide con el eje de las ordenadas y pasa por el punto P(-4,2).

Solución:
Dado que su eje coincide con el de las ordenadas, la ecuación buscada es de la forma . Luego, si pasa por el punto P(-4,2), éste debe satisfacer laecuación anterior, por lo que se tiene:

De esta forma, la ecuación buscada es:


(12) Encuentre la longitud del lado recto de la parábola .

Solución:
Dado que la longitud del lado recto equivale a y la ecuación corresponde a la forma , entonces, LR= .
(13) Determinar las coordenadas del foco de la parábola .

Solución:
Reescribiendo la ecuación propuesta en su forma ordinaria: ,...