Códigos cíclicos

Códigos cíclicos
Los códigos cíclicos forman una subclase de códigos de bloques lineales. En realidad, muchos de los códigos de bloques lineales importantes descubiertos hasta la fecha son cíclicos o bastante relacionados con este tipo de códigos. Una ventaja de los códigos cíclicos sobre la mayor parte de los otros tipos de códigos es que son más fáciles de codificar. Además, los códigoscíclicos poseen una estructura matemática perfectamente definida, la cual ha conducido al desarrollo de esquemas de decodificación muy eficientes para ellos.
Se afirma que un código binario será cíclico si exhibe dos propiedades fundamentales:
1. Propiedad de linealidad: la suma de cualesquiera dos palabras de código en el código es también una palabra de código.
2. Propiedad cíclica:cualquier corrimiento cíclico de una palabra de código en el código también es una palabra de código.
La propiedad 1 reenuncia el hecho de que el código cíclico es un código de bloques lineal (es decir, puede describirse como un código de verificación de paridad). Para reenunciar la propiedad 2 en términos matemáticos, dejamos que la n-tupla (c0, cv ..., cn_,) denote una palabra de código de un código debloques lineal (n, k). El código es cíclico si las n-tuplas

(Cn-1, C0,…., Cn-2),
(Cn-2, Cn-1,…., Cn-3),
..
.
.
(C1, C2,…., Cn-1, C0),

son todas palabras de código en el código.
Para desarrollar las propiedades algebraicas de los códigos cíclicos, utilizamos los elementos c0, c1,..., cn-1 de una palabra de código para definir el polinomio del códigoc(X) = c0+ClX + c2X2+ . . . +cn-1Xn-1 (10.27)

donde X es una indeterminación. Naturalmente, para los códigos binarios, los coeficientes son unos y ceros. Cada potencia de X en el polinomio c(X) representa un corrimiento a tiempo de un bit. Por tanto, la multiplicación del polinomio c(X) por X puede verse como un corrimiento hacia la derecha. La pregunta clave es: ¿cómo hacercíclico un corrimiento de estas características? La respuesta a esta cuestión se describe en seguida.

Considere que el polinomio de código c(X) se multiplica por Xi, produciendo










(10, 28)

Donde, en la última línea, hemos reordenado términos. Admitiendo, por ejemplo, que cn-i+ cn-i = 0 en la suma módulo 2,es posible manipular los primeros i términos de la ecuación (10.28) del modo siguiente:
X¡c(X) = cn-i+... + cn-1 Xi-1+c0Xi+c1Xi+1+ ... + cn.i.1Xn-1 + cn-i (Xn+l) + ...
….+ cn-1Xi-1(Xn+l)
(10.29)

Después de esto, introducimos las siguientes definiciones:

(10.30)

Por tanto, la ecuación (10.29) se reformula en la forma compacta
Xic(X) =q(X) (Xn +1) + c(i)(X) (10.32)
El polinomio c(i)(X) se reconoce como el polinomio de código de la palabra de código (cn-i,...,cn-1,c0,c1,..., cn-i-1) obtenida al aplicar i corrimientos cíclicos a la palabra de código (c0,c1,..., cn-i-1,cn-i,..., cn-1). Además, a partir de la ecuación (10.32) observamos de inmediato que c(i)(X) es el residuo que resulta al dividir X1c(X) entre (Xn+ 1). De ese modo es posible establecer formalmente la propiedad cíclica en notación de polinomios de la forma siguiente: si c(X) es un polinomio de código, entonces el polinomio
c(i)(X) = Xic(X)mod(Xn+l) (10.33)
también es un polinomio de código para todo corrimiento cíclico i; el término mod es la abreviación de módulo. La forma especial de la multiplicación depolinomio descrita en la ecuación (10.33) se conoce como módulo de multiplicación Xn + 1. En efecto, la multiplicación está sujeta a la restricción Xn = 1, cuya aplicación regresa el polinomio Xic(X) al orden n - 1 para toda i < n. (Advierta que en la aritmética de módulo 2, X" + 1 tiene el mismo valor que X" - 1.)
■ Polinomio generador
El polinomio Xn + 1 y sus factores desempeñan un papel...