Cónicas, ecuaciones paramétricas y Coordenadas polares

1. Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
1.1 CÓNICAS
Sección cónica:
Se describe como la intersección de un plano y un cono de dos hojas. El corte del plano (sin pasar por los vértices) forma las cuatro cónicas básicas como en la siguiente imagen:


Cuando el plano pasa por el vértice se forma una cónica degenerada, se muestran en la siguiente imagen


Las cónicas sedefinen por la siguiente ecuación general de segundo grado:

Las cónicas también se definen como un lugar geométrico o colección de puntos que satisfacen una cierta propiedad geométrica.
La circunferencia se define como la colección de todos los puntos (x, y) del plano que equidistan de uno fijo (h,k). Se representa a la circunferencia por medio de la ecuación canónica:

La parábola es elconjunto de todos los puntos (x,y) que son equidistantes de una recta fija (directriz) y un punto fijo (foco) no perteneciente a esta recta. El punto medio entre el foco y la directriz es el vértice, y la recta que pasa por el foco y el vértice es el eje de la parábola. La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y directriz y = k – p es:

Para la directriz x = h –p, la ecuación es:

El foco está en el eje a p unidades de distancia del vértice. La cuerda focal es un segmento que pasa por el foco de una parábola y tiene sus extremos en la parábola. La cuerda focal perpendicular el eje de la parábola es el lado recto.
Una elipse es el conjunto de todos los puntos (x, y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos distintos (focos) es constante. La rectaque une los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vértices es el eje mayor, y su punto medio es el centro de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor por el centro es el eje menor de la elipse.

La forma canónica de la ecuación de la elipse, con centro en (h,k) y ejes mayor y menor de longitudes 2a y 2b, donde a > b, es:
El eje mayor es horizontal
El eje mayor esvertical
Los focos están en el eje mayor, a c unidades del centro, con
La hipérbola es el conjunto de los puntos (x, y) para los cuales la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos distintos (focos) es constante. La recta que pasa por los dos focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento que une los vértices es el eje transversal, y su punto medio es el centro de lahipérbola. Una propiedad característica de la hipérbola es que su grafica tiene dos ramas separadas.
La forma canonica de la ecuación de una hipérbola con centro (h, k) es
Eje transversal horizontal

Eje transversal vertical
Los vértices están a a unidades del centro y los focos a c unidades del centro, además

Cada hipérbola posee dos asíntotas que se cortan en el centro de la hipérbola.Las asíntotas pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a y 2b, centrado en (h, k). El segmento de longitud 2b que une (h, k+b) y (h, k-b) se conoce como el eje conjugado de la hipérbola.

1.2 CURVAS PLANAS Y FUNCIONES PARAMÉTRICAS
Suponga que una partícula se mueve en un plano de modo que las coordenadas (x, y) de su posición en cualquier tiempo t, están dadas por las ecuacionesX= f(t) y y = g(t) (1)
Entonces para cada numero t del dominio común de f y g la partícula se encuentra en el punto (f(t), g(t)) y estos puntos describen una curva plana C recorrida por la partícula. Las ecuaciones (1) se denominan ecuaciones paramétricas de C y la variable t se llama parámetro. La curva C también recibe el nombre de grafica; esto es el conjunto de todos lospuntos (x, y) que satisfacen (1) es la grafica de las ecuaciones paramétricas.
Si se elimina el parámetro t del par de ecuaciones (1) se obtiene una ecuación en x y y, denominada ecuación cartesiana de C. la eliminación del parámetro puede conducir a una ecuación cartesiana cuya grafica contiene mas puntos que la grafica definida por las ecuaciones paramétricas.
El parámetro de un par de ecuaciones...