Cónicas y cuadráticas

Conicas y Cuadraticas
Las cónicas y las cuádricas responden a un modelo general, son basicamente polinomios de grado 2 en dos y en tres variables. Como todos los polinomios de grado dos envarias variables tienen una parte cuadrática, una parte lineal, y una parte constante. Si se quiere ver así, es suma de una forma cuadrática y de una forma a fín. Se pueden expresar por tanto como\begin{displaymath}xAx^t+Bx^t+C\end{displaymath}

Conicas
La ecuación general de una cónica es

\begin{displaymath}Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0\end{displaymath}

o en otros términos\begin{displaymath}(x,y){\left( \begin {array}{cc }A&B\B&C\end{array} ......emath{\left( \begin{array}{c}x\ y\end{array} \right)}+ F=0\end{displaymath}

Entre los tipos que podemos encontrar decónicas podemos destacar las parábolas, elipses, e hipérbolas. Estas cónicas se denominan no degeneradas

Elipse
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{displaymath}Elipse imaginaria
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1\end{displaymath}

Punto
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0\end{displaymath}

El parde rectas imaginarias $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}i=0$y$\frac{x}{a}-\frac{y}{b}i=0$ se cortan en un punto real. En este caso, en el punto $(0,0)$
Hipérbola\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{displaymath}

Punto
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0\end{displaymath}

El par de rectas $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0$ y$\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0$ se cortan en un punto. En el punto $(0,0)$
Parábolas
\begin{displaymath}\cases{y^2=2px&\crx^2=2py&\cr}\end{displaymath}

Par de rectas\begin{displaymath}x^2=a^2\end{displaymath}

$x=a$ y $x=-a$
Par de rectas imaginarias
\begin{displaymath}x^2=-a^2\end{displaymath}

$x=ai$ y $x=-ai$
Recta doble (o rectas coincidentes)...