Cónicas

Tipos de Cónicas


Esquema de las tres secciones cónicas.
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
• β < α : Hipérbola (azul)
• β = α : Parábola (verde)
• β > α : Elipse (amarillo)
• β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
• Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
• Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
• Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzarel máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
Características
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
• Centro, O
• Eje mayor, AA´
• Eje menor, BB´
• Distancia focal, OF
La elipse tiene lasiguiente expresión algebraica:

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llamanhipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:
• Centro, O
• Vértices, A y A
• Distancia entre los vértices
• Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola con centro (0, 0), es:
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:
• Eje, e
• Vértice, V
• Distancia de F a d, p.
Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación:

Sección cónica

Las tres secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola. La circunferencia es un caso particular de elipse.
Se denominasección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
Expresión algebraica


Partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica medianteecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
h² > ab: hipérbola.
h² = ab: parábola.
h² < ab: elipse.
a = b y h = 0: circunferencia (considerada un caso particular de elipse).

* Las cónicas son curva de intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existenteentre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
CURVAS CÓNICAS

* Una sección cónica es cualquier curva producida por la intersección de un plano y un cono recto triangular. Dependiendo del ángulo del plano relativo al cono, la intersección es un círculo, una elipse, una hipérbola o una parábolaLas Cónicas se pueden describir como curvas planas que son los caminos de un punto en movimiento para que el radio de su distancia forme un punto arreglado (foco) a la distancia de la línea determinada (directriz) que es constante
Si la excentricidad es cero, la curva forma un círculo, si es igual a dos, forma una parábola, si es menor a uno, forma una elipse, y si es mayor a uno, forma una...