Cónicas

Las Cónicas

Índice

Introducción 3
Historia de las Cónicas 4
Ecuaciones de las Cónicas 5-7
Generación de las Cónicas 7-12
Aplicación de las cónicas en la naturaleza y en el mundo físico 12-13
Representación grafica de las cónicas 13-20
Identificación de las cónicas medianteel discriminante 20-21

Introducción
Primero que todo ¿Qué es una cónica? Hay muchas definiciones que les han dado a las cónicas a los largo de los años. La más común y aceptada es: “Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:
”

¿Y la Superficie Cónica? Se llama superficie cónica de revolución a lasuperficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje.

¿Cómo nos afectan? Aunque no lo creamos, esto está en nuestra vida cotidiana y somos afectados todos los días por éstas, ya que “Todo cuerpo bajo el campo gravitatorio y prescindiendo del rozamiento con el aire, sigue una parábola”. Demostraremos muchos ejemplos explicando cómo nosafectan desde lo más simple a lo más complejo.

Nuestro objetivo es estudiar, investigar y profundizar las cónicas. Para esto demostraremos su aplicación en el día a día, investigaremos su historia, descubrimiento, además de sus explicaciones matemáticas, etc.


Historia de las Cónicas
El griego Menaechmos fue el primero en estudiar las secciones cónicas. Llegó a ellas tratando deresolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo. Pero el primero en estudiarlas detalladamente fue el matemático Apolonio y en encontrar la propiedad plana que definía a estas. Éste descubrió que se clasificaban en tres tipos:

a) Parábola: es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje,siendo así paralelo a la generatriz. Es una curva abierta que es prolongada hasta el infinito. O también so n las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista)

b) Elipse: es aquella sección que se produce en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismoun ángulo mayor que el que forman el eje y la generatriz. Es una curva cerrada. También se puede definir como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

c) Hipérbola: es donde se produce en aquella superficie cónica de revolución oblicua al eje, formando con este un ángulo menor al que forman el eje con lageneratriz. Esta incide en las dos hojas de la superficie cónica. O también es el lugar geométrico de todos los puntos del plano p(x,y), cuya diferencia a 2 puntos fijos es contante.

Arquímides logró calcular el área de un elipse y de un sector de la parábola con un método precursor del cálculo integral, que se desarrolló hasta el s. XVII d. C.
Apolonio de Praga representa la culminación de lageometría griega. Escribió ocho libros sobre secciones cónicas, de los cuales uno se perdió. Fue el primero en demostrar que son secciones de un cono circular, recto u oblicuo, y las estudió como curvas planas. Los nombres de elipse, parábola e hipérbola se deben a él.

Ecuaciones de las Cónicas
I. Ecuaciones de la parábola:
1).-Ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen y quecoincide con el eje Y:
x2 = 4py (Lo anterior si p es mayor que cero; (p>0))
x2 = -4py (Lo anterior si p es menor que cero; (p<0))
2).- Ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen y que coincide con el eje X:
Y2 = 4px (Lo anterior si p es mayor que cero; (p>0))
Y2 = -4px (Lo anterior si p es menor que cero; (p<0))
3).-Desarrollando la ecuación anterior nos da...