dada

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Guía Matemática
CONGRUENCIA
tutora: Jacky Moreno

.cl

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1.

Congruencia

Es probable que en alguna conversaci´n hayas escuchado frases como “Yo tengo una polera igual a la
o
tuya”, “Eres igual a tu mam´” o “Me quedo igual tu firma” para referirse a que dos cosas son iguales pese
a
a que no ocupan el mismo lugar en el espacio, sino m´s bien, quecomparten las mimas caracter´
a
ısticas.
Cuando esto sucede estamos haciendo referencia directa a lo que es la congruencia entre dos objetos por
sobre la igualdad que solemos utilizar en nuestras palabras.
La congruencia hace referencia a la coincidencia que existe entre dos figuras geom´tricas en su forma
e
y en su tama˜o a pesar de que sus posiciones u orientaciones sean distintas. Tantola forma como el
n
tama˜o son caracter´
n
ısticas que est´n determinadas por los ´ngulos y medidas de los lados que pueden
a
a
tener las figuras relacionadas. De esta forma, al superponer dos figuras que son congruentes, deber´
ıan
calzar perfectamente.
En general la congruencia entre dos figuras A y B se representa por medio del s´
ımbolo ∼ de la siguiente
=
∼ B. En base a lo anterior,podemos decir lo siguiente:
forma A =
Cualquier par de puntos distintos son congruentes entre s´
ı.
A∼B∼C
= =

Dos segmentos son congruentes s´ y s´lo s´ tienen la misma medida.
ı
o
ı
AB ∼ CD
=

Dos ´ngulos son congruentes s´ y s´lo s´ tienen la misma abertura.
a
ı
o
ı
ABC ∼ DOE
=

2

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Dos figura son congruentes s´ y s´lo si tienen la misma medida de loslados y ´ngulos corresponı
o
a
dientes.
ABCD ∼ A B C D
=

2.

Congruencia de tri´ngulos
a

Como vimos anteriormente para que dos figuras sean congruentes todos sus elementos deben coincidir
de manera exacta. En el caso de los tri´ngulos, estos ser´n congruentes si es que existe una correspondencia
a
a
entre sus v´rtices, lados y ´ngulos.
e
a
Dos tri´ngulos son congruentes s´ y s´los´ sus
a
ı
o
ı
a
´ngulos miden lo mismo y sus lados miden lo
mismo.
As´ si tenemos que
ı,

ABC ∼
=

DEF entonces se cumplen lo siguiente:

Con respecto a los v´rtices tenemos los siguientes pares de elementos que son hom´logos o correse
o
pondientes entre s´
ı:
A con D
B con E
C con F
Con respecto a los lados de los tri´ngulos tenemos las siguientes pares hom´logos, esdecir, con igual
a
o
medida:
AB ∼ DE
=
BC ∼ EF
=
CA ∼ F D
=

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Con respecto a los ´ngulos interiores de los tri´ngulos tenemos los siguientes pares de elementos
a
a
hom´logos entre s´
o
ı:
∼
CAB = F DE
ABC ∼ DEF
=
BCA ∼ EF D
=

2.1.

Criterios de congruencia de tri´ngulos
a

A continuaci´n enunciaremos una serie de criterios de congruencia detri´ngulos que nos sirven para
o
a
establecer que dos tri´ngulos son congruentes sin la necesidad de comprobar el cumplimiento de todas las
a
condiciones antes dadas por la definici´n.
o
2.1.1.

Criterio lado-lado-lado

Euclides en su libro los elementos enunci´ el siguiente criterio:
o
Si dos tri´ngulos tienen los dos lados iguales a dos
a
lados respectivamente, y tienen tambi´n la base
eigual a la base, entonces tambi´n tendr´n los
e
a
a
´ngulos iguales a aquellos que est´n contenidos por
a
los lados iguales.
Lo anterior descrito corresponde al criterio de congruencia conocido como lado-lado-lado o abreviado
como L.L.L el cual nos dice que si los tres lados de un tri´ngulo son respectivamente iguales a los tres
a
lados de otro, entonces los dos tri´ngulos soncongruentes.
a
AB ∼ DE
=
BC ∼ EF
=
CA ∼ F D
=

2.1.2.

Criterio lado-´ngulo-lado
a

Euclides en su libro los elementos enunci´ el siguiente criterio:
o
Si dos tri´ngulos tienen dos lados iguales a dos
a
lados respectivamente, y tienen iguales los ´ngulos
a
contenidos por los lados iguales, entonces tambi´n
e
tienen la base igual a la base, el tri´ngulo igual al
a
tri´ngulo, y los...