Dadada

HOJA 3 de PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA
Nota: sqrt(2) quiere decir la raíz cuadrada de 2. 1. A) Qué altura tiene un árbol sabiendo que su punto más alto está sujeto con una cuerda de 10 metros de longitud clavada a 6 metros del pie del árbol. Representamos gráficamente la situación propuesta. 10

H 6

Se trata de un triángulo rectángulo del que se conocen la hipotenusa y uno de los catetos y laincógnita es el segundo cateto. Utilizamos entonces el teorema de Pitágoras para hallar la altura del árbol, H: 6 = 102 100 36 8 B) En un triángulo rectángulo un cateto mide 5 metros ¿cuánto mide el otro cateto sabiendo que su longitud difiere en un metro a la de la hipotenusa? Realizamos un esquema gráfico del enunciado: X+1

5

x Utilizando de nuevo el teorema de Pitágoras: 5 = (x+1)2 252

1

12

2. A) Si tenemos dos triángulos escalenos (los tres lados distintos) que tienen dos ángulos iguales dos a dos, ¿cómo será el tercer ángulo? ¿Son semejantes estos triángulos? ¿Por qué? Si los dos triángulos tienen dos ángulos iguales también será igual el tercer ángulo pues la suma de los ángulos de un triángulo siempre es constante e igual a 180°. Sí son semejantes pues cumplenuna de las condiciones de semejanza, a saber: a. Tener lados proporcionales. b. Dos ángulos iguales. c. Un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales. B) Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un edificio que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros? (Haz un dibujo del problema).

3 2

x

45 Son dos triángulos semejantes pues tienendos ángulos iguales (el recto y el que forman los rayos de sol con el suelo), por tanto sus lados son proporcionales:
135 2

67,5

3. Completa la siguiente tabla Para resolver este ejercicio sólo hay que tener en cuenta que π radianes son 180°. Radianes Grados sexagesimales π/2 3π/4 5π/6 π/4 7π/6 5π/3 11π/6 90˚ 135˚ 150˚ 45˚ 210˚ 300˚ 330˚

4. Completa las siguientes frases A) Si el cosenode un ángulo del segundo cuadrante vale –sqrt(2)/3, la tangente del mismo ángulo vale
√

. x =1, nos permite encontrar el seno. x
√

La relación fundamental de la trigonometría: 1
√

encuentre el ángulo. Así por tratarse del segundo cuadrante el seno es positivo. Como resulta
√ √

. La duplicidad de signos depende del cuadrante en que se

,

√ √

√

B) Si la cosecante de unángulo del segundo cuadrante vale sqrt(2)/2, la secante del mismo ángulo vale . No existe ningún ángulo cuya cosecante valga sqrt(2)/2, pues la cosecante es siempre mayor que 1. C) Si el coseno de un ángulo vale 2, el ángulo es . No existe ningún ángulo cuyo coseno valga 2, pues el coseno es siempre menor que 1. D) Si el seno de un ángulo del primer cuadrante es
√

, la cotangente del mismo ángulovale sqrt(3)/3. se obtiene la relación:
√

Dividiendo en la relación fundamental de trigonometría por 1 . Sustituyendo la cotangente resulta: 1 Por tanto,
√

.

√

.

5. Completa la siguiente tabla Para completar esta tabla se utilizan las fórmulas de las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo: x =1, 1 , 1 . Cuadrante en el Sen α Cos α Tg α Cotg α Sec α Cosec α queestá α 1er 1er 2º 3er 1/2 √24 2√5 5 5 17 √3 2 1/5 √5 √17 5 17 3 sqrt(24) 2 1 4 √3 √24 √3 1 4 24 2 2√3 5 3 2 5√24 √5 4 24 2

√5 √17

4√17

-√17

3er 1er

3√11 1/3

10

1

2√2

10 3

3√11 √2 4

√11

33

-10 3√2 4

10√11 3

33

2√2

6. Dado el siguiente triángulo, obtén las medidas de los elementos que faltan. b α c A) Con los datos del ejercicio y el dibujo,observamos que se trata de un triángulo rectángulo del que son conocidos la hipotenusa y un cateto. γ a β

Calculamos el cateto c mediante el teorema de Pitágoras: √10 5 5√3. Las razones trigonométricas que relacionan un cateto y la hipotenusa son el seno (cateto opuesto) y el 5 1 coseno (cateto adyacente o contiguo). Entonces para el ángulo α se tiene: 10 2 α=30°. Y finalmente, como β es recto,...