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DETERMINACIÓN DE MOMENTOS FLECTORES2 El problema de dimensionado, atendiendo exclusivamente a la flexión, exige el conocimiento de los valores que adopta el momento flector en cada sección de la viga. Vamos, por tanto, a determinar los momentos flectores insistiendo especialmente en su valor máximo, en diversos casos isostáticos de sustentación y carga. Como norma general, la determinación demomentos implica el conocimiento de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema: en los casos que vamos a considerar se conocen directamente las cargas exteriores y hay que calcular las equilibrantes. Estas últimas, se hallarán imponiendo las condiciones del equilibrio estático. Trataremos, a modo de ejemplo, los siguientes casos de sustentación: A) Viga simplemente apoyada. B) Viga en voladizo. A)Viga simplemente apoyada En todos los casos que se estudian a continuación se supone el peso propio de la viga despreciable respecto a las cargas que actúan sobre la misma.
a) Carga centrada y concentrada

Determinación de las reacciones: Condición de componente vertical nula: RA+ RB-P =0

Tomando momentos respecto del punto medio:

R A ·(l/2)-R B ·(l/2)=0

2

RESISTENCIA DEMATERIALES. Ortiz Berrocal 1

de donde :

RA = R B =
Leyes de momentos flectores:

P 2

M x1 = R A x =

P x 2

válida en

0≤ x≤

l 2

M x2 = R A x − P ( x −

l P ) = (l − x ) para 2 2

l ≤x ≤l 2

El momento flector máximo se presentara en el punto medio de la viga (obsérvese que se trata de un máximo absoluto y, por tanto, la primera derivada no es nula). Su valor se obtendráhaciendo x= l/2 en las dos ecuaciones anteriores

M max =

Pl 4

b) Carga descentrada y concentrada . Determinación de las reacciones: Condición de que la suma de cargas verticales sea nula: R A + RB − P = 0 Tomando momentos respecto del extremo B: R A · l − P · b = 0 de donde:

RA =

P ·b P·a ; RB = l l

Leyes de momentos flectores:

M x1 = R A x =

P· b x l

válida en

0≤ x≤a
a≤x≤l

M x2 = R A x − P ( x − a ) =

P·a (l − x ) l

para

El momento flector máximo tendrá lugar en la sección en la que esta aplicada la carga y su valor se obtiene haciendo x = a en cualquiera de las ecuaciones de momentos: 2

M max =
c) Carga uniformemente repartida

P · a ·b l

Representaremos por p la carga por unidad de longitud. Suele expresarse en tonelada por metro lineal(t / m). La determinación de las reacciones es muy simple, ya que por simetría:

R A = RB =

P ·l 2

En este caso rige una sola ecuación de momentos para toda la viga:

M x2 = R A x − P x

x P ·l P · x2 = x− 2 2 2

para

0≤x ≤l

Ecuación de una parábola, por lo que el diagrama de momentos flectores será un arco de este tipo de cónica. Para hallar el momento flector máximoigualaremos a cero la primera derivada, en virtud de la continuidad de la función en toda la viga:

d M P·l = − px = 0 dx 2

⇒

x=

l 2

valor que sustituido en la ley de momentos nos da:

P ·l 2 M max = 8
d) Carga triangular Supondremos variable la carga por unidad de longitud, aumentando linealmente desde 0 en al apoyo A hasta el valor Pmax en el B. Las cargas pdx sobre cada elementodiferencial de viga constituyen un sistema de vectores paralelos cuya resultante, la carga total P, es: 3

P ·l p = max 2 2 y tiene por línea de acción la recta x = l . Las condiciones generales del equilibrio nos 3
proporcionan las ecuaciones.
⎧ ⎪R A + R B = P ⎪ ⎨ ⎪ l ⎪R A · l = P · 3 ⎩

de donde:

RA =

2 · P P max · l P P max · l ; RB = = = 3 6 3 3

La ecuación de momentos será única ytendrá validez en 0 ≤ x ≤ l

M = R A x − P( x )
Derivando e igualando a cero, se obtiene x =

x P P · x3 = x− 3 3 3· l 2

l por lo que : 3

M max =
B) Viga en voladizo.

2 · P ·l P ·l P l3 · − = 2 3 3 3 3 3·l 9 3

Vamos a suponerla perfectamente empotrada en un extremo (imposibilidad de giro en el), en todos los casos que se estudian a continuación.

a) Carga concentrada en el...