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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

PAUTA CERTAMEN 1 - CÁLCULO II
1. Problema 1 (15 puntos)
√
3

Sea F (x) =

x

2

e−tdt.

0

a) Usando el Teorema Fundamental del Cálculo muestre que F es derivable para todo x en R \ {0}
b) Calcule F (x), para todo x = 0.
c) Muestre que F (0) no existe.
Solución:
2

a) Comola función f (s) = e−s es continua en todo R y
que F es derivable para todo x ∈ R \ {0}.

d √
3
dx ( x)

=

3

−1
√
3 2
x

está definido en R \ {0}, se tiene

b) Por el TeoremaFundamental del Cálculo se tiene que
√
3

2

e− x
F (x) = √ 2
33x
lo cual está definido para los x en R \ {0}.
c) Por definición, la derivada de F en 0 existe si l´
ım

x→0
√
3

F (x) − F (0)l´
ım
= l´
ım
x→0
x→0
x−0

F (x) − F (0)
existe. Se tiene
x−0
x

2

e−t dt

√
3

2

e− x
= l´
ım √ 2 = +∞
x→0 3 3 x

LH

0

x

Así, el límite no existe. Por lo tanto,F no es derivable en 0.
2. Problema 2 (15 puntos)
+∞

Considere las dos integrales impropias siguientes I =

+∞

e−t dt y J =

0

4

|e−t sin(

3

1 − t3 )|dt.

0

a) Pruebe queI converge y calcule su valor.
b) Deduzca que J converge utilizando el ejercicio anterior.
Solución:
b

a) Para b > 0 se tiene

e−t dt = −e−t |b = 1 − e−b y l´ 1 − e−b = 1. Así, I converge yım
0
b→∞

0

b

I = l´
ım

b→∞ 0

1

e−t dt = 1.

4

b) (Comparación Directa) Primero notar que para t ≥ 1 se cumple que 0 ≤ e−t ≤ e−t . Como I converge,
+∞

+∞

4

e−t dtconverge y, por el Criterio de Comparación Directa,
e−t dt converge.
1
1
√
√
4
4
4
Por otro lado, como | sin( 3 1 − t3 )| ≤ 1 se tiene que 0 ≤ |e−t sin( 3 1 − t3 )| ≤ e−t ya que e−t ≥ 0, ∀t ∈tenemos que

+∞

R. Además

1

4

e−t dt =

+∞

4

e−t dt +
1

0

0

4

e−t dt en donde la primera integral es propia y la segunda

converge por la observación...