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Solucionario primer capitulo

3. 4.

2.

1.

d2 dt 2
d3y dx 3

R
4

d dt

c
d2y dx 2
dy dx
2

0
5

Respuesta:
y 0

Es de 2º orden y 1º grado Es de 3º orden y 4º grado Es de 2º orden y 1º grado Es de 1º orden y 1º grado Es de 2º orden y 4º grado Es de 1º orden y 3º grado Es de 3º orden y 1º grado

Respuesta: Respuesta: Respuesta:

d 2 y dy . dx 2 dx

y

0

7.x 4 8.

6.

5.

y
d2y dx 2
D .Y

y cos x
4

y

dy dx
3x 2 1

2

Respuesta: Respuesta: y4 d3y dx 3
4

3

dy dx
3

x2

d2y dx 2
d2y dx 2
y
4

Respuesta:
x7 y cos x

9. x y

d2y dx 2
3

dy dx
y 0

Respuesta:Es de 2º orden y 3º grado Es de 2º orden y 3º grado Es de 2º orden y 2º grado

10. cos x y

Respuesta:
4

2

sen x y

1

Respuesta:Por: CALIXTO CARMEN

Y ARIAS RICALDI

INGENIERÍA DE SISTEMAS

Verificar que la función y
x dy dx y x sen x

x

x 0

sen t dt , satisface a la ecuación diferencial t

Sea sen t dt 0 t x sen t x sen t sen x y' dt x dt sen x 0 0 t x t x sen t x sen t Entonces : xy ' x dt sen x x dt 0 0 t t y x
x y

x sen x

xy '

Comprobar que la función y
dy dx y ex
x
2

xy x sen xSatisface a la ecuación diferencial xy ' xy x sen x

ex

x 0

et dt ce x , satisface a la ecuación diferencial
2

Sea y ex
x x 0

et dt ce x
x

2

y' e y' y y' y

0

et dt e x .e x
x 0
2

2

2

ce x ex
x2

ex

x 0

et dt ce x
x 0

2

ex

x2

ex e

et dt ce x

ex

et dt ce x

2

x x2

ecuación diferencial H '' a

Dada la función H a

y' y
1 1cos atdt 1 t2
1 H' a a

, a

H a

0, probar que H(a) satisface a la
0

ex

x2

Por: CALIXTO CARMEN

Y ARIAS RICALDI

INGENIERÍA DE SISTEMAS

1 t2 Cambio de variable. t sen dt cos d 1 cos a sen .cos d H a 1 cos
1

H a

1

cos atdt

1 1

cos a sen

d

H a H a

1 1 1

sen a sen .sen d cos a sen .sen 2 d
1 1 1 1

1

Entonces: 1 H a H a H a a Integrado porpartes:
1 1

cos a sen

. 1 sen 2

d

sen a sen a

sen d

...(i )

cos a sen
cos

cos 2 d
du sen d sen a sen

u

dv cos t sen
1 1 1 1

cos d
cos 2 d cos 2 d

v

cos a sen cos a sen

cos .sen a sen 1 1 a 1 sen a sen sen d ...(i ) 1 a
1 1

a 1 sen a sen sen d 1 a

Reemplazando (ii) en (i): 1 H a H a H a a 1 H a H a H a a

sen a sen a

sen d

1 1

sen asen a

sen d

0

0......qq.dd .

Verificar que la función y
xy ' y y ' 1 x2 y2

arcsen xy , satisface a la ecuación diferencial

Sea y y' arcsen xy xy ' y 1 x2 y 2 y ' 1 x2 y 2 xy ' y xy ' y

y ' 1 x2 y 2
xy ' y y ' 1 x2 y2

Por: CALIXTO CARMEN

Y ARIAS RICALDI

INGENIERÍA DE SISTEMAS

Comprobar que la función x y xy ' y sen x
2 2

y sen t 2 dt , satisface a la ecuacióndiferencial
x 0

Derivando:

1 y

y

x 0

sen t 2 dt

y sen x 2
c1e x c2 e 2 x

xy

y 2 sen x 2 Satisface a la ecuación diferencial
y

Comprobar que la función y

diferencial x sen x. y '' x cos x. y ' y cos x
Sea sen t dt t x sen t sen x y ' C1 C2 dt C2 x 0 t x sen x y '' C2 C2 cos x x y C1 x C2 x
x 0

C1 x C2 x
0

x 0

sen t dt , satisface a la ecuación t

C1 C2x 0

sen t dt C2 sen x t

x sen x. y '' x cos x. y ' y cos x

x sen x C2

sen x C2 cos x x
x 0

x cos x C1 C2 x sen x. y '' x cos x. y ' y cos x 0

sen t dt C2 sen x t

C1 x C2 x

x 0

sen t dt t

Si satisface a la ecuacion diferencial
0

x sen x. y '' x cos x. y ' y cos x

Sea h x por
x 2 y ''

ez dz , x 0, hallar los valores de “a” tal que la función f definida 1z e ah x satisface a la ecuación diferencial f x x 3 x x 2 y ' 1 x 3e 2 x dy 0
x

Derivando: Por: CALIXTO CARMEN
Y ARIAS RICALDI

INGENIERÍA DE SISTEMAS

y y

e ah x x ae x ah x .e x3 e x .e
ah x

e

ah x

x2

...(i ) a e x ah x 2 .e .x 2 xe ah x x ....(ii ) x4

y

a

ae x ah x x 3 ah x .e .e x 3 x 2 ae x .e x x6 3x x 2

Multiplicando a i

3x x 2 y

3 x

ae x...