Datos agrupados

Datos agrupados
Al tratar con datos agrupados, si coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

Donde y son las frecuencias absolutasacumuladas tales que , y son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y es la abscisa a calcular, la moda. Se observa que es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.
Ejemplo para datos agrupados
Entre 1.70 y 1.80 hay 3 estudiantes.
Entre 1.60 y 1.70 hay 5 estudiantes.
Entre 1.50 y 1.60 hay 2 estudiantes.

Mediana (Me): Valor que divide una seriede datos en dos partes iguales. La cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales.

 
La definición de geométrica se refiere al punto que divide en dos partes a un segmento. Por ejemplo, la mediana del segmento es el punto C.
Existen entonces dos segmentos iguales:
4.2.1 Ejemplo: mediana para datos no agrupados (cantidad de datos impar)
 
Encontrar la mediana paralos siguientes datos:
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3
SOLUCIÓN

PASO 1: Ordenar los datos.
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5
PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.
1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5
La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado.
4.2.2 Ejemplo: mediana para datos no agrupados (cantidad de datos par)
Modifiquemos el ejemplo anterior, eliminando el último dato. Encontrar lamediana:
4 1 2 3 4 2 2 1 5 5
SOLUCIÓN
PASO 1: Ordenar los datos.
1 1 2 2 2 3 4 4 5 5
PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.
1 1 2 2 2 3 4 4 5 5
El punto medio se encuentra entre dos valores: 2 y 3, por tanto, el valor de la mediana será 2,5.
4.2.3 Ejemplo: mediana para datos agrupados en tablas tipo A
Calcular la mediana a partir de la siguiente tabla defrecuencia:
 
Ni
Clase
f
F
h
H
1
10
5
5
10,4%
10,4%
2
20
7
12
14,6%
25,0%
3
30
10
22
20,8%
45,8%
4
40
13
35
27,1%
72,9%
5
50
10
45
20,8%
93,8%
6
60
2
47
4,2%
97,9%
7
70
1
48
2,1%
100,0%
Total
48

 
100,0%

 
SOLUCIÓN
PASO 1: Localizar entre que clases se encuentra la mediana. Observe que la mediana se encuentra entre las clases 3 y 4, donde podremos encontrar una frecuencia relativa acumulada del 50%.
 
NiClase
f
F
h
H
1
10
5
5
10,4%
10,4%
2
20
7
12
14,6%
25,0%
3
30
10
22
20,8%
45,8%
4
40
13
35
27,1%
72,9%
5
50
10
45
20,8%
93,8%
6
60
2
47
4,2%
97,9%
7
70
1
48
2,1%
100,0%
Total
48

 
100,0%

 
PASO 2: Interpolar los datos para encontrar la mediana.
En el paso anterior habíamos dicho que el punto que divide el 2 parte iguales se encuentra entre 30 y 40.
 

 
Clase
H

 
40
72,9%

 
30
45,8%Diferencia
10
27,1%
La diferencia entre las frecuencias relativas nos indica que existe entre las clases 27,1% de los datos. Para llegar al 50% de los datos, debemos incrementar en 4,2% datos partiendo desde la clase 30.
Con una regla de tres sencilla hallaremos el incremento en unidades dada en la clase para ese 4,2%.
10
27,1%
Incremento
4,2%
Para llegar al 50% de los datos, a la clase 30 debemosincrementarle 1,55.
4.2.4 Ejemplo: mediana para datos agrupados en tablas tipo B
Determinar la mediana de la siguiente tabla de frecuencia:
 
Ni
Lm
Ls
f
F
h
H
Mc
1
21,20
29,21
5
5
12,50%
12,50%
25,21
2
29,21
37,21
2
7
5,00%
17,50%
33,21
3
37,21
45,21
10
17
25,00%
42,50%
41,21
4
45,21
53,21
7
24
17,50%
60,00%
49,21
5
53,21
61,21
12
36
30,00%
90,00%
57,21
6
61,21
69,21
3
39
7,50%
97,50%
65,21
7
69,21
77,201
40
2,50%
100,00%
73,21
Total
40

 
100,00%

 

 
SOLUCIÓN
PASO 1: Localizar entre que intervalos de clase se encuentra la mediana.
Podemos observar que el punto que divide el 50% de los datos esta entre el intervalo de clase 3 y 5, para ser más preciso, entre los valores 45,21 y 53,21 (hasta 45,21 hay agrupados el 42,50% de los datos, y hasta 53,21 se resume el 60,00% de los datos).
 
Ni
Lm
Ls...