Dbrs Al 100%

Capítulo 2



El Concepto de Probabilidad



£s sorprendente que una ciencia que empezó a partir de juegos de azar pueda haber llegar a ser el objeto más importante del conocimiento humano
Pierre Simón Laplace

En la naturaleza y en la vida cotidiana se presentan fenómenos cuyo resultado se determina unívocamente a partir de ciertas condiciones, por ejemplo, losresultados de mediciones geométricas, cálculos financieros o procesos mecánicos. También existen fenómenos cuyo resultado no puede ser anticipado con certeza, sino que existe una probabilidad de que un cierto resultado se dé, examinemos algunos ejemplos: el número de autos que pasan por una esquina durante una hora determinada, el número de dardos que tendrá que lanzar un jugador antes de dar en elblanco o los años que sobrevivirá un cónyuge a la muerte de su pareja. Es evidente que nadie puede dar un resultado certero con anticipación a que los tres eventos considerados se sucedan, entonces si se da una respuesta existe una incertidumbre en el resultado.
Experimentos cotidianos como aquellos relacionados con los juegos de azar fueron los que dieron origen en el siglo XVII a la modernateoría de probabilidades y su aplicación en muchas ciencias.
En lo que sigue se dará una introducción a la teoría de probabilidades, ejemplificando varias de sus aplica-ciones.


2.1 Algebra de Eventos

Examinemos un ejemplo: "el lanzamiento de un dado una sola vez". Como resultado de la prueba pueden producirse diferentes sucesos, "sale dos", "sale cinco", "el número que aparece es par",etc.
Distinguimos dos tipos de eventos : eventos elementales (no descomponibles) y eventos compuestos (o simplemente eventos). Por ejemplo,, el evento "sale dos" es un evento elemental, mientras que el evento

Operación en la Teoría
Proposiciones de Conjuntos
Por lo menos uno de los eventos A o B ocurre x £ A U B
Ambos eventos A y B ocurren i € A n B
No ocurre .4 x £ Ac
Ni A ni Bocurren x £ Ac íl Bc
A ocurre y B no ocurre x £ A n Bc
Exactamente ocurre uno de los eventos A o B x £ {A Ci Bc) U (Ac D 5)
No más de los eventos A o B ocurre x £ (A(~) B)c
Si A ocurre, también 5 ,4 C B
A y fl se excluyen mutuamente (eventos incompatibles) A O B — 0
Evento .4 o evento B . A U B
Evento .4 y evento B A O, B

Cuadro 2.1: Equivalencias entreproposiciones de la teoría de probabilidades y de la conjuntos

"el número que aparece es par" es un evento compuesto pues está conformado por los eventos "sale dos", "sale cuatro" y "sale seis''.
Formalmente, se tiene que los eventos elementales son todos los casos posibles de la prueba o de la observación y todos los eventos relacionados con el experimento pueden ser descritos en base a los eventoselementales
Uí.
A la colección de todos los eventos elementales se denomina espacio muestra!:
q — {uí/u> es evento elemental}. Entonces un evento no es más que un subconjunto de fi.
Señalemos que el concepto de espacio muestra! fue introducido por Galileo para resolver el problema de por qué en el lanzamiento, de tres dados "10" y "11" aparecen más frecuentemente que "9" y "12". Para resolverloél listó todos los casos posibles.
Volviendo a nuestro ejemplo, si representamos por un número el que sale en la prueba de arrojar un dado, tenemos:
Espacio muestral: Q = {1,2,3,4,5,6}.
A = { el número que sale es par} = {2,4,6}.
Como los eventos se han asociado a conjuntos, es natural pensar que sus operaciones tienen algún significado
como eventos.

Sean A y B dos eventos de fi y x elresultado de un experimento, en el Cuadro 2.1 se: presenta uña afirmación relativa a los eventos A y B y su equivalencia en la teoría de conjuntos .

Es claro que eátos conceptos se extienden a cualquier sucesión de eventos.


2.2. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD 21

a|a b||a b||
b • ^/ A >i||s// //i|/ A \|1|

Gráfico 2.1: Interpretación de los conjuntos...