Ddibujando fractales geometricos con la computadora

Dibujando Fractales Geom´tricos con la Computadora e
Conferencia dictada por N. Aguilera
19 de agosto de 2000

1.

Introducci´n o

Antes que nada quisiera agradecer la invitaci´n que me han hecho los organizadores de este o ´ encuentro, en especial a las Profesoras Ana Mar´ Simoniello de Alvarez, quien ha sugerido el ıa tema, y a la Profesora Nelly V´zquez de Tapia, quienes se hapreocupado, mucho m´s all´ de lo a a a necesario, para que esta reuni´n tuviera el ´xito que ha tenido. Desde ya es un placer estar con o e todos ustedes. Como su nombre lo indica, en esta charla me gustar´ contarles sobre distintas t´cnicas para ıa e generar gr´ficos de los denominados fractales geom´tricos, por lo que bien vale la pena comenzar a e por explicar el t´ ıtulo. Lo de “dibujando fractales conla computadora” es, como ustedes saben, una gran mentira. Por un lado la frase tiene tanto sentido como “dibujar una recta con papel y l´piz”. La recta a es un concepto abstracto, un objeto que imaginamos como “muy finito y derecho”, que s´lo o representamos en un papel mediante un dibujo en l´piz. a e o Pero tambi´n “dibujar fractales con la computadora” es una mentira porque la construcci´n defractales involucra el concepto de infinitas iteraciones que no podemos dibujar con la computadora porque a) la computadora (con la que estoy haciendo los gr´ficos) no me permite hacer “infinitas” a iteraciones; b) y aunque lo hiciera, no lo podr´ dibujar en la pantalla o el papel, que tienen ıa una resoluci´n “finita” (72 puntos por pulgada en mi pantalla, 600 puntos por pulgada en mi o impresora).Por lo tanto, cuando hablamos de “dibujar fractales con la computadora” debemos entender o o o que s´lo estamos haciendo finitas iteraciones, y s´lo una representaci´n de estas finitas iteraciones: nunca podremos dibujar fractales exactamente. En cuanto a lo de “geom´tricos”, recordemos que en una primera clasificaci´n los fractales e o pueden dividirse en geom´tricos (o cl´sicos) y modernos. Losgeom´tricos son los que se dibujan e a e a partir de figuras como segmentos, tri´ngulos o c´ a ırculos, como el copo de Koch en la Figura 1 (recordar que es s´lo una representaci´n), mientras que los modernos son los que tienen “rulos” o o como el conjunto de Julia de la Figura 2 (y en general se presentan en una combinaci´n de colores o vistosos).

Figura 1: el copo de Koch, fractal geom´trico eFigura 2: un conjunto de Julia, fractal “moderno”

2.

¿. . . y por qu´? e

Es conveniente tambi´n hablar un poco sobre la importancia de los fractales y su ubicaci´n e o en un curriculum ideal, puesto que ya el que tenemos tiene demasiados contenidos para el tiempo asignado. Desde el punto de vista matem´tico y las aplicaciones en la ciencia, muy posiblemente los a fractales “modernos” seanm´s interesantes para estudiar, ya que est´n ´ a a ıntimamente relacionados con las nociones de sistemas din´micos, bifurcaci´n y caos, y por lo tanto es conveniente dejar a o estos temas para los ultimos a˜ os del polimodal (a˜os 10–12) o el nivel terciario/universitario, ´ n n para dejar tiempo a que los alumnos tengan mayor “madurez matem´tica”, y puedan apreciar a m´s la importancia del tema yavanzar sobre algunos puntos m´s delicados. a a Por otra parte, si bien desde el punto de vista matem´tico los fractales geom´tricos son muy a e importantes, principalmente porque dan lugar a muchos contraejemplos y por lo tanto a teor´ ıas m´s avanzadas, es relativo el inter´s intr´ a e ınseco que pueden tener para alguien que no es especialista. M´s bien, tenemos que pensarlos como una forma deintegrar distintos contenidos y conceptos en a matem´ticas, o como paso previo para estudiar los fractales modernos, o, no menos importante, a avanzar en el uso de la computadora para estudiar matem´ticas, necesitando de menos matem´ticas a a para entender su construcci´n. o Desde los contenidos, se reafirman conceptos de la figuras geom´tricas como segmentos, tri´ne a gulos, etc. y las...