de todo un poco

PRIMER NIVEL

XXIX OLIMPÍADA MATEMÁTICA ARGENTINA
CERTAMEN NACIONAL
PRIMER DÍA
ESCRIBIR EN LA HOJA DE SOLUCIONES LOS CÁLCULOS
Y RAZONAMIENTOS QUE JUSTIFICAN LAS RESPUESTAS


Problema 1
a) ¿Es posible dividir un cuadrado de lado 1 en 30 rectángulos de perímetro 2?
b) Supongamos que un cuadrado de lado 1 está dividido en 25 rectángulos de perímetro p. Hallar el mínimo y el máximovalor de p.
ACLARACIÓN: Los rectángulos de la división no son necesariamente iguales.



Problema 2
Se tienen 100 bolitas de metal, indistinguibles, entre las que hay 50 radiactivas. Se tiene también tres detectores. Para cada grupo de bolitas cada detector supuestamente establece si entre ellas hay o no bolitas radiactivas. Se sabe que un detector siempre da la respuesta correcta, otrosiempre da la respuesta incorrecta y el tercero responde a veces en forma correcta y a veces en forma incorrecta, pero no se sabe cual de los detectores hace cada cosa. Dar un procedimiento que permita determinar con certeza cuales son las 50 bolitas radiactivas. Los detectores se pueden usar tantas veces como se desee y para grupos de cualquier cantidad de bolitas.



Problema 3
Sea ABC untriángulo acutángulo con circuncentro O. La recta AO corta al lado BC en D. Se sabe que y . Calcular los ángulos del triángulo.
ACLARACIÓN: El circuncentro del triángulo ABC es el centro de la circunferencia que pasa por A, B, C. Es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo.








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SEGUNDO DÍA
ESCRIBIREN LA HOJA DE SOLUCIONES LOS CÁLCULOS
Y RAZONAMIENTOS QUE JUSTIFICAN LAS RESPUESTAS


Problema 4
En el pizarrón están escritos varios enteros positivos menores que 200 tales que ninguno de ellos divide al mínimo común múltiplo de los restantes. Determinar la máxima cantidad de números que pueden estar escritos en el pizarrón.
ACLARACIÓN: El mínimo común múltiplo de un conjunto de números esigual a la multiplicación de todos los factores primos comunes y no comunes de estos números, elevados a su mayor exponente.



Problema 5
En una isla hay 50 clubes. Cada habitante de la isla es socio de 1 o 2 clubes. Cada club tiene como mucho 55 socios, y para todo par de clubes hay un habitante de la isla que es socio de los dos clubes. ¿Cuántos habitantes puede tener la isla? Dar todaslas posibilidades.



Problema 6
En un negocio hay paquetes de dos clases; unos pesan 11 kg y los restantes pesan 12 kg. Su peso total es 5940 kg, y se sabe que hay paquetes de 12 kg pero no se sabe cuántos paquetes hay de cada clase. Demostrar que estos paquetes se pueden dividir en 11 grupos de igual peso.







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Y RAZONAMIENTOS QUE JUSTIFICAN LAS RESPUESTAS


Problema 1
Para cada número natural x sea la suma de sus dígitos. Hallar el menor número natural n tal que .



Problema 2
En un torneo de fútbol con equipos cada par de equipos jugó entre si exactamente una vez. En la tabla final los puntajes de los equipos son n númerosconsecutivos. Hallar el máximo valor posible del puntaje del ganador del torneo. (Una victoria otorga 3 puntos, un empate, 1 punto, una derrota, 0 puntos).



Problema 3
Sea ABC un triángulo con , . Sean L en BC tal que AL es la bisectriz de y M el punto medio de AC. Si AL y BM se cortan en P, calcular la razón .











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Problema 4
Dadas 2012 piedras divididas en varios grupos, una movida legal es unir dos de los grupos en uno, siempre y cuando el tamaño del nuevo grupo sea menor o igual que 51.
Dos jugadores, A y B, por turnos hacen movidas legales; comienza A. Inicialmente...