De Todo Un Poquito

Teor´ procedimientos de demostraci´n y ıa, o ejercicios de An´lisis Funcional a
Lic. Alejandro Alonso F´ster u Dra. Luc´ Arg¨elles Cort´s ıa u e

´ FACULTAD DE MATEMATICA, F´ ISICA ´ Y COMPUTACION Universidad Central “Marta Abreu”de Las Villas Cuba 2005

´ Indice General
1 Una aproximaci´n al estudio del An´lisis Funcional o a 1 1.1 Orientaciones metodol´gicas . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2 o 1.2 Caracter´ ısticas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Sobre el enfoque global en el curso de An´lisis Funcional . . . 5 a 1.4 Pre´mbulo al texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 a 1.4.1 Influencia del An´lisis Cl´sico en el An´lisis Funcional a a a 7 1.4.2 Generalizaci´n de la geometr´ al An´lisis Funcional . . 10 o ıa a 1.4.3 Importancia delos espacios normados generales . . . . 11 1.5 Panor´mica del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 a 2 Espacios normados 2.1 Espacios normados . . . . . . . . . . 2.2 Espacios de Banach . . . . . . . . . . 2.3 Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . 2.4 Desigualdades de H¨lder y Minkowski o 2.5 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . 2.6 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 20 24 25 27 43 45 45 50 60 63 70 71 79 85 92

3 Operadores lineales 3.1 Continuidad, acotaci´n y norma de un operador lineal o 3.1.1Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Espacio de operadores lineales acotados . . . . . . . . 3.2.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Operadores inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Operadores cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . .3.5 Operadores casi cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . i

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3.5.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 99 . 99 . 101 . . . . . . . . . 102 108 119 121 122 124 132 135 140

4 Espacios duales y operadores conjugados 4.1 Funcionales lineales continuos en espacios normados . . . . . 4.2Teorema de Hahn-Banach. Estructura del Espacio Dual . . . 4.2.1 Aplicaciones del Teorema de la Acotaci´n Uniforme al o caso de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Espacio Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Operadores Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Conjugado de Hermite . .. . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Convergencia D´bil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Conjuntos compactos y Operadores totalmente continuos 5.1 Conjuntos compactos en espaciosnormados . . . . . . . . . 5.2 Operadores lineales totalmente continuos . . . . . . . . . . . 5.2.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Ejercicios resueltos aplicados a la resoluci´n de ecuaciones ino tegrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Ejemplos Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Operadores autoconjugados. Teor´espectral ıa 6.1 Operadores autoconjugados . . . . . . . . . . 6.1.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . 6.2 Espectro de un operador lineal . . . . . . . . . 6.2.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . 6.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142 . 143 . 144 . 150 . 161 . 179 180 . 180 . 182 . 188...