DE TODO

Ejercicios Adicionales #7
Práctica para el Segundo Examen Parcial
Prof. Marco Alfaro C.

1. La suma de tres números positivos es 120:
(a) ¿Cuál es el valor máximo positivo de su producto?(b) Veri…que por el método del discriminante que en realidad este producto es un máximo.
2. Sea f (x; y ) = x2

xy + y 2 + 3x

2y + 1. Determine los extremos de f y clasifíquelos.

3. Determinelos extremos de la función
z = x3 + 3xy 2

15x

12y:

4. Determine los extremos condicionados de las funciones:
xy
+ = 1:
2
3
(b) z = xy; si x + y = 1:
(a) z = x2 + y 2 ; si

(c) u = xy2 z 3 ; si x + y + z = 12 (x > 0; y > 0; z > 0) :
4

5. Encuentre el valor mínimo de la función f (x; y ) = x4 + 3y 3 a lo largo de la hipérbola xy = c,
4
donde c > 0: Luego demuestre que ladesigualdad 4ab
a4 + 3b 3 es válida para a > 0 y b > 0
cualesquiera.

6. Demuestre la desigualdad

si x

0; y

0; z

x+y+z
3

p
3

xyz;

0:

Sugerencia: Buscar el máximo de lafunción u = xyz con la condición que x + y + z = S:

7. Usted debe construir una caja rectangular sin tapa con materiales que cuestan 50000 colones el metro
cuadrado para el fondo y 75000 colones elmetro cuadrado para los otros cuatro lados. La caja debe
tener un volumen de 1500 metros cúbicos, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la caja para que su
costo sea mínimo?

8. Usando el método de losmultiplicadores de Lagrange, determine los puntos críticos de
f (x; y; z ) = x4 y 4 z 4 sujeta a la restricción x y + z 6 = 0: Empleando cualquier
método, diga qué clase de puntos críticos son.9. Determine por cualquier método los puntos críticos de la función f (x; y; z ) = xy + xz + yz bajo la
restricción g (x; y; z ) = x2 + y 2 z 2 1 = 0 y diga en qué consisten (máximos, mínimos opuntos
de ensilladura).

10. Para la función f (x; y; z ) = xyz restringida al plano x + y + z = 9; encuentre, por cualquier
método apropiado, sus puntos críticos y clasifíquelos en máximos y...