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El concepto de espacio vectorial es sin duda uno de los más importantes de esta asignatura y del Algebra Lineal.
El espacio vectorial es una estructura algebraica que generaliza, hasta el mayornivel de abstracción, la idea de los vectores geométricos del plano y el espacio euclıdeos ordinarios, así como las magnitudes vectoriales que aparecen en Física; esencialmente, son conjuntos cuyoselementos se pueden sumar entre si, y multiplicar por números.
Todo espacio vectorial lleva siempre asociado un conjunto con estructura de cuerpo, cuyos elementos llamaremos escalares, que jugarán el papelde números. Los elementos del espacio vectorial serán los vectores.
Notación y terminología:
Los elementos del espacio E se denominan vectores, mientras que los del cuerpo K se llaman
Escalares.El símbolo “•”del producto de escalar por vector (así como el del producto de escalares) amenudo se omite: λu := λ • u.
Cuando el cuerpo de escalares sobre el que se define un espacio vectorial E es elde los números
Reales, suele decirse que E es un espacio vectorial real; cuando es el de los complejos, ese Llama un espacio vectorial complejo.
Propiedades:
A partir de la definicion , se deduceninmediatamente las siguientes:
∀u ∈ E, 0 • u = 0.
Sean λ ∈ K y u ∈ E; λu = 0 ⇔ λ = 0 ∨ u = 0.
∀λ ∈ K, ∀u ∈ E, (−λ)u = λ(−u) = −(λu).
Ejemplos:
El plano euclıdeos R2 y el espacio euclıdeos R3ordinarios, constituyen espacios vectoriales sobre R con la suma de vectores y el producto de escalar por vector habituales. Estos espacios son casos particulares del siguiente: En general, dados uncuerpo K y un entero positivo n, el producto cartesiano
Kn= {(x1, x2, . . . , xn) : xj∈ K , j = 1, 2, . . . , n}
con la suma de vectores y el producto de escalar por vector, constituye un espaciovectorial sobre K.
El conjunto K[x] de los polinomios con coeficientes en un cuerpo K, constituye un espacio
vectorial sobre K. Asimismo, dado n ∈ N, el conjunto Kn[x] de los polinomios de grado menor...