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NÚMEROS NATURALES.
Número Natural:
Un número natural (designados por ℕ) es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Es todo número perteneciente a la serie N={0,1,2,3,4,...} formada por todos los números que, a partir del cero (o ausencia de elemento), el uno inicia y sin término medio.
Convenios de notación
Puesto que los números naturales se utilizanpara contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de la ciencia, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:
Definición sin el cero:
N={1,2,3,4,...}
Definición con el cero:
N= {0,1,2,3,4,...}
Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cerose incluyó en las definiciones conjuntistas de los números naturales.
Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si no se incluye el cero en los naturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos y se lo denota como N∗. Alternativamente también se utiliza N−{0}.
Por el contrario, cuando el 0 seconsidera un número natural (cosa que es conveniente, por ejemplo, en divisibilidad y teoría de números), al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los números cardinales y se lo denota N0.
Definición en Teoría de Conjuntos.
En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contarhaciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a0.
Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple
Para cada y∈x, y⊆x
La relación ∈x={(a,b)∈x×x∣a∈b} es un orden total estricto en x
Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden ∈x
Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea elrepresentante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que ∅ no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.
Se define -según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por 0 y que cada número natural n tiene un sucesor denotado como n+. Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientesexpresiones:
0=∅
n+=n∪{n}
De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:
Por definición 0={} (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
1 es el sucesor de 0, entonces 1=0+=∅∪{0}={0}
2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces 2=1+={0}∪{1}={0,1}.
y en general
3={0,1,2}
4={0,1,2,3}
5={0,1,2,3,4}
⋮
Estopermite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión:
a≤b⟺a⊆b
Es decir que un número a es menor o igual que b si y sólo si b contiene a todos los elementos de a.
También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cadanúmero natural consta de sus antecesores. Así a<b si y sólo si a∈b.
Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.
Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo...