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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Bolivariana de Venezuela
Cabimas, Edo-Zulia

Análisis Matemático

Realizado por:




Introducción
La siguiente investigación se realizara con la finalidad de conocer sobre las derivadas y las integrales, el cual se rige por algunos pasos que el estudiante debe de seguir, oponer en práctica para así tener conocimiento de cada uno de sus puntos y lograr un mejor desarrollo de las mismas.

Derivada
Es el valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.
La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones devalores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

Aplicación
Mediante las derivadas podemos calcular una serie de puntos como lo son:
1. Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  alvalor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] =  Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función
f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]
Solución
T.V.M. [0, 2] =
 
Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variación media de la función f(x) = ln(x+b) en el intervalo [0,2] valga ln2.

2. Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en elintervalo [a, a +h] sería .
 
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
f´(a)=
Si f tiene derivada en el punto ase dice que f es derivable en a.
Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:

Integrales
La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es unarama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Dada una función de una variable real y un intervalo de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano limitada entre la gráfica de , el eje ,y las líneas verticales y , donde son negativas las áreas por debajo del eje .

Aplicación
Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc.,lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, suempleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad. Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral

*Cálculo de áreas planas

Tal cómo hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas.
Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa...