De todo

Simetría: Capicúas



Las posibilidades de recreación que hay en los números son ilimitadas. Esa diversión la puede encontrar desde un lego hasta un doctor en matemáticas. El área en donde es más evidente la parte lúdica de las matemáticas es en la Teoría de los Números. Aquí aún los no especialistas han hecho contribuciones importantes a las matemáticas. Ya veremos cómo personajes comoPaganini han encontrado algunos resultados importantes. Ya lo decía Francois Le Lionnais: “No hay otro ámbito del pensamiento humano en el que la inteligencia opere con tan frenética intrepidez”.

Por otra parte, los números han demostrado tener un enorme valor terapéutico para la gente que se encuentra confinada en una cama o recluida en una celda. Los acertijos numéricos o matemáticos son muypopulares, y personas que uno podría pensar no tienen nada que ver con esta ciencia, tienen una relación directa con ella. Así los escritores, pintores, escultores y otros artistas trabajan las matemáticas en cada una de sus obras. Andreas Speizer decía: “Allí donde hay número hay belleza y estamos en la vecindad inmediata del arte”. Y Bertrand Russell concordaba: “El verdadero espíritu de alegría,de exaltación, el sentimiento de ser más que un hombre, que son la piedra de toque de la excelencia más elevada, se hallan en las Matemáticas como en la Poesía”.

Estas características de las matemáticas ya habían sido descubiertas por los pitagóricos, quienes llegaron incluso a hacer una rara mezcla de misticismo y matemáticas muy cercana a una religión. Y no era para menos. Ellos encontraronmuchas de las propiedades de los números. Propiedades casi mágicas que los asombraron y nos siguen asombrando. Ya hablaremos de algunas de ellas, pero iniciemos nuestro recorrido relacionando los números con las letras.

Al igual que las letras, los símbolos de numeración pueden formar palíndromos; en este caso se les conoce con el nombre de capicúas. En los países anglosajones se utiliza elmismo término (palíndromo) para series de números y letras que son “invertibles” en el eje izquierda-derecha.

Desechando los casos triviales, los numerales del 0 al 9, el primer capicúa es el número 11. Este número tiene una curiosa propiedad: puede generar palíndromos a partir de sus potencias:

111 = 11
112 = 121
113 = 1331
114 = 14641

Encontramos, además, que estos capicúas estánformados con los dígitos de las filas sucesivas del Triángulo de Pascal. Uno podría suponer que la quinta potencia de 11 también sería palíndromo, pero no lo es. No obstante sí son capicúas los cuadrados de 1, 11, 111, 1111, 11111, etcétera.

12 = 1
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321

Otra manera de obtener capicúas es tomando un número, invirtiéndolo y sumando las doscantidades. Repetir esta operación hasta conseguir el capicúa. Este truco siempre funciona si todos los dígitos del número escogido son menores que 5, o si la suma del primero y el último, del segundo y el penúltimo, etc., no es mayor que 9. Por ejemplo:

3412
2143
5555



4413
3144
7557



3802
2083
5885



1373 51043731 invirtiendo 5104 y sumando 4015
5104 9119

Estos son casos particulares de la Conjetura del Capicúa, que dice que si sumamos un número cualquiera con su inverso y repetimos esta operación varias veces, tarde o temprano obtendremos un capicúa.

Un ejemplo con un número de dos dígitos:

95
__59
154



154_451
605



605
_506
1111

Para el caso particular de los números de dos dígitos cuya suma es menor de 100, se obtiene el capicúa en tan sólo un paso.

En el siglo pasado se pensaba que la conjetura resultaría cierta, pero nadie había logrado demostrarla, hasta que en 1967 Charles W Trigg encontró 249 números menores a 10 mil que no daban capicúas después de 100 iteraciones. Fred...